非対称なポテンシャル中での固有状態

質問

量子力学の話です。

3次元の球対称なポテンシャルｌの場合にはシュレディンガー方程式を極座標表示して、
球面調和関数Yが角運動量の2乗L^2と角運動量のz成分Lzの固有関数であることが求められます。

では、ポテンシャルが球対称じゃない場合、例えばV(x,y,z)=m/2[ω1x^2+ω2y^2+ω3z^2)]のようなポテンシャルを持ったの調和振動子などの場合に、上の場合と同じように調和振動子の定常状態はL^2とLzの固有状態になれるのでしょうか？
なれないのならばその理由を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

heboiboro

＞結局ポテンシャルの形V(r)に関わらず極座標で計算しのですが、Hが等方的なポテンシャルの場合と
＞ 同じ形になってしまって、L,Lzは同じように固有状態になれるという結果が出たのですが、直感的には
＞ HとL,Lzはポテンシャルが違うので可換でないように思えます。
具体的にどのような計算をしたのか分からないので確かなことは言えませんが、球対称なポテンシャルの下でのシュレーディンガー方程式を解くときは、ひとまず変数分離解を仮定して解くのが一つの一般的なやりかただと思います。
しかしV(x,y,z)が球対称でないときは変数分離ができないか、変数分離できても角度成分の方程式がL^2, L_z の固有方程式にならないのではないでしょうか。（ご質問文にあるVの場合は変数分離がうまくいかない気がします）

お礼

ありがとうございます。
自分でももう一度計算してみます！

回答No.1

heboiboro

定常状態(エネルギー固有状態)が同時にある演算子Aの固有状態であるようにとれるには、ハミルトニアンHと演算子Aが交換することが必要充分条件です。
ですから、与えられたハミルトニアンと L^2, L_z が交換するかどうかを調べればよいです。

お礼

回答ありがとうございます。
結局ポテンシャルの形V(r)に関わらず極座標で計算しのですが、Hが等方的なポテンシャルの場合と
同じ形になってしまって、L,Lzは同じように固有状態になれるという結果が出たのですが、直感的には
HとL,Lzはポテンシャルが違うので可換でないように思えます。
自分でもまだよく理解できてないせいでどこが違うのかが今ひとつわかりません・・・よろしければご指摘お願いします。