図のような一端ピン支持された質量の無視できる長さlの剛体棒の一端に質量

質問

図のような一端ピン支持された質量の無視できる長さlの剛体棒の一端に質量mの物体がつけられ、中央のばねが支えている。ちょうど水平で釣り合っているとするとき、この系の固有振動数を求めよ。

これをラグランジュの方程式で解いたところ
L（ラグランジアン）＝(ｍ/2)l＾2(dθ/dt)^2-mglsinθ－(１/2)k×（lθ/2)^2より
ml^2ｄ＾2θ/dt^2=-mgl-kl^2θ/4
となって単振動の式ではなくなってしまうのですが、どこがまちがっているのかご指導お願いします。
（sinθ=θとする。）

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

つりあい位置を原点とする単振動系においては，重力はキャンセルされる運命にあるので知っておくとよいでしょう。鉛直ばね振子でもそうでしたよね？

つりあい位置で，ばねの縮みをx0とすると
kx0・l/2 = mg・l　　∴　x0 = 2mg/k

L = 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ - 1/2 k(x0 - lθ/2)^2
= 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ -1/2 kx0^2 + 1/2 kx0lθ - 1/8 kl^2θ^2
= 1/2 ml^2θ'^2 -1/2 kx0^2 - 1/8 kl^2θ^2

第２項は定数なので捨ててよく，

L = 1/2 ml^2θ'^2 - 1/8 kl^2θ^2

あとは，できますね？

なお，蛇足ですが，仮にあなたが与えた結果が正しい場合でも，単振動の微分方程式であることには変わりありません。

θ'' = -ω^2 θ + C

の形の場合，

d^2/dt^2 (θ - θ0) = -ω^2(θ - θ0)

と書き換えることができますね？

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございます。助かりました！