両端で支持された棒の反力と角速度を・・・

質問

両端で支持された棒（長さL、質量ｍ）の一端を急に外したとき、もう一端を中心に回転する。このときの角加速度と一端に作用する反力を教えてくださいm（_ _)m

わかりにくいですけど、こんな感じです。

　l← 　L　 →l
　l￣￣￣￣￣￣l　
　△￣￣￣￣￣￣△　
　↑　 ↓　
　Ra　 mg　

　 ↓

l← 　L　　→l
　l￣￣￣￣￣￣l
　△￣￣￣￣￣￣
　↑　　↓
　Ra　　mg

回答No.1

Mr_Holland

(1)　棒の片端を軸とした慣性モーメントをI、棒が水平となす角をθ、重力加速度をｇとしますと、回転の運動方程式は次のようにかけます。
　　Iθ''＝(L/2)mg*cosθ　　（θ''はθを時間tで2階微分したもの）

　ところで、棒の片端を軸とした慣性モーメントIは
　　I＝[x=0→L]∫(m/L)x^2・dx
　　　＝mL^2/3
と求められますので、これを上の運動方程式に代入して、角加速度θ''を求めますと、次のようになります。
　　θ''＝3g/(2L) cosθ　　・・・・・・（A)

(2)　先ず、準備として角速度θ'を求めておきます。
　式（A)の両辺にθ'を掛けて積分すると、
　　θ'θ''＝3g/(2L) (cosθ)θ'
　　(1/2)θ'^2＝3g/(2L) sinθ＋C　（Cは積分定数）
となります。
　ここで、初期条件として、t=0のとき、θ＝０、θ'＝０であるとすれば、Ｃ＝０となりますので、θ'^2は次のようになります。
　∴θ'^2＝(3g/L)sinθ　　　　・・・・・(B)

　さて、鉛直上向きにｙ軸をとり（原点は固定された片端の位置)、ｙを棒の重心の変位とすると、鉛直成分の棒の運動方程式は次のようになります。
　　my''＝Ra-mg　　　・・・・・（C)
　　ただし、ｙ＝-(L/2)sinθ
　ここで、y''を求めると、
　　y''＝(L/2){ (sinθ)θ'^2－(cosθ)θ'' }
となりますので、これに式（A)、(B)を代入して、y''をθで表すと、次のようになります。
　　y''＝(L/2){ (sinθ)(3g/L)sinθ－(cosθ)3g/(2L) cosθ }
　　　　＝(3g/4){ 3(sinθ)^2 -1 }　　　　・・・・・（D)

　あとは、式（D)を式（C)に代入して、固定された一端の反力 Ra を求めますと、
　　Ra＝mg＋my''
　　　＝mg+m(3g/4){ 3(sinθ)^2 -1 }
　　　＝(mg/4) { 9(sinθ)^2 +1 }
と求められます。

お礼

丁寧に解説ありがとうございました!