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両端で支持された棒の反力と角速度を・・・

両端で支持された棒(長さL、質量m)の一端を急に外したとき、もう一端を中心に回転する。このときの角加速度と一端に作用する反力を教えてくださいm(_ _)m わかりにくいですけど、こんな感じです。    l←  L  →l  l ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄l   △ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄△   ↑  ↓   Ra  mg    ↓ l←  L  →l  l ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄l  △ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄  ↑  ↓  Ra  mg

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(1) 棒の片端を軸とした慣性モーメントをI、棒が水平となす角をθ、重力加速度をgとしますと、回転の運動方程式は次のようにかけます。   Iθ''=(L/2)mg*cosθ  (θ''はθを時間tで2階微分したもの)  ところで、棒の片端を軸とした慣性モーメントIは   I=[x=0→L]∫(m/L)x^2・dx    =mL^2/3 と求められますので、これを上の運動方程式に代入して、角加速度θ''を求めますと、次のようになります。   θ''=3g/(2L) cosθ  ・・・・・・(A) (2) 先ず、準備として角速度θ'を求めておきます。  式(A)の両辺にθ'を掛けて積分すると、   θ'θ''=3g/(2L) (cosθ)θ'   (1/2)θ'^2=3g/(2L) sinθ+C (Cは積分定数) となります。  ここで、初期条件として、t=0のとき、θ=0、θ'=0であるとすれば、C=0となりますので、θ'^2は次のようになります。  ∴θ'^2=(3g/L)sinθ    ・・・・・(B)  さて、鉛直上向きにy軸をとり(原点は固定された片端の位置)、yを棒の重心の変位とすると、鉛直成分の棒の運動方程式は次のようになります。   my''=Ra-mg   ・・・・・(C)   ただし、y=-(L/2)sinθ  ここで、y''を求めると、   y''=(L/2){ (sinθ)θ'^2-(cosθ)θ'' } となりますので、これに式(A)、(B)を代入して、y''をθで表すと、次のようになります。   y''=(L/2){ (sinθ)(3g/L)sinθ-(cosθ)3g/(2L) cosθ }     =(3g/4){ 3(sinθ)^2 -1 }    ・・・・・(D)  あとは、式(D)を式(C)に代入して、固定された一端の反力 Ra を求めますと、   Ra=mg+my''    =mg+m(3g/4){ 3(sinθ)^2 -1 }    =(mg/4) { 9(sinθ)^2 +1 } と求められます。

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