力のモーメント

質問

長さ90ｃｍ、質量1ｋｇの棒の両端にそれぞれ５００ｇおよび
１５００ｇの物体をつるし、棒の一点を支えて水平に保ちたい。
どの点を支えたらいいか？
ｍｇｌ＝ｍｇ(0.9－ｌ)
で解こうと思ったんですが答えは出ませんでした。
お願いします

回答No.4

ht1914 · ベストアンサー

一点で支えて水平に保つと言うことですから釣り合いの問題です。
釣り合いですから棒に働いている力を全て書き出さないといけません。力が明らかになっていないのにモーメントを考えても欲しいものは出てきません。
＞ｍｇｌ＝ｍｇ(0.9－ｌ)
これは何をしようとしたのでしょうか。両辺にｍｇがあります。おもりの質量も棒の質量もこれには入っていません。
釣り合いを考えると力は全部で４つあります。下向きにはおもり２つ分０．５ｋｇｆ（左端）と１．５ｋｇｆ（右端）、棒の重心に１．０ｋｇｆです。上向きに支えた場所に３．０ｋｇｆです。これがまず書き出せないとダメです。それぞれ働いている場所が違います。場所が分からないのは３．０kgfの分です。ここでモーメントを使います。
（力さえきちんとリストアップされていればモーメントを考える基準点がどこにとってもかまいません。支点にとらなければいけないわけではありません。）
支点の位置を左端からＬｍとします。
モーメントを考える基準点を左端にとったとします。
右回りのモーメントの合計＝左回りのモーメントの合計
０．４５×１．０＋０．９×１．５＝Ｌ×３．０
Ｌ＝０．６０
これだけです。
モーメントを考える基準点を右端にとったとします。
（０．９０－Ｌ)×３．０＝０．９×０．５＋０．４５×１．０
０．９０－Ｌ＝０．３０
Ｌ＝０．６０
同じになります。
モーメントの基準点を支点にとった時はご自分でやってみて下さい。

回答No.3

sanori

すみません。
下から３行目に書き間違いがありました。

【誤】
２つの重りの質量がゼロで、棒に質量がある場合は、５０ｃｍ。

【訂正後】
２つの重りの質量がゼロで、棒だけに質量がある場合は、４５ｃｍ。

回答No.2

sanori

棒の線密度をρ（ロー）と置きます。
棒は、質量１０００ｇ、長さ９０ｃｍなので
ρ ＝ １０００／９０ g/cm
です。
（重りの重さの単位がグラムなので、それに統一して１０００ｇにしました）

５００ｇの重りをつるす側を「左」、
１５００ｇの重りをつるす側を「右」、
と呼ぶことにします。

支点から左端までの長さをＬ、右端までの長さをＬ２と置くと、
Ｌ２＝９０－Ｌ
です。

左側については、
・重りの力のモーメントは、５００・Ｌ
・棒の力のモーメントは、
　　∫[0→L] ρｘ・ｄｘ　＝　ρ・Ｌ^2／２
左側合計　５００・Ｌ　＋　ρ・Ｌ^2／２

右側については
・重りの力のモーメントは、１５００・Ｌ２　＝　１５００（９０－Ｌ）
・棒の力のモーメントは、
　　∫[0→L2] ρｘ・ｄｘ　＝　ρ・Ｌ２^2／２
　　　＝　ρ・（９０－Ｌ）^2／２
右側合計　１５００（９０－Ｌ）　＋　ρ・（９０－Ｌ）^2／２

左右がつり合うので、
500L + ρL^2/2 = 1500(90-L) + ρ(90-L)^2/2
500L + ρL^2/2 = 1500(90-L) + ρ(90^2 - 180L + L^2)/2
ちょうど L^2 の項が消えて
500L = 1500(90-L) + ρ(90^2 - 180L)/2
ρ＝１０００／９０　なので、
500L = 1500(90-L) + 1000/90×(90^2 - 180L)/2
500L = 1500(90-L) + 1000(90 - 2L)/2
(500 + 1500 + 1000)L = 1500×90 + 1000×90/2

Ｌ ＝ 90(1500 + 500)/(500 + 1500 + 1000)
　＝ 90×2000/3000
　＝ ６０

というわけで、
「左端（５００ｇの重りをつるす場所）から６０ｃｍの場所」
と出ました。

棒の質量がゼロのときは、６７．５ｃｍ、
２つの重りの質量がゼロで、棒に質量がある場合は、５０ｃｍ。
今回の「６０ｃｍ」は、両者の中間の値なので、
理にかなっていますね。

回答No.1

zoe_falken

似たような問題が載っているサイトがありますのでご参考にどうぞ

参考URL：

http://www.kdcnet.ac.jp/college/buturi/kougi/buturiko/mechanics/mechan5/mechan5.htm