添削お願いします（物理）

質問

一様な質量分布を持つ、長さL、質量Mの棒の一端を固定して、鉛直面内で振動できるようにする。
棒のもう一端に、ばね定数ｋのばね上方から棒と垂直につなげ、棒が水平方向を向いて静止するように吊るす。
このとき、このつりあいの位置のまわりでの、棒の上下方向への微小振動の振動数を求めよ。

という問題がありまして、自分でやってみたところ、

回転の角度:θ　として
運動方程式
I(d^2θ/dt^2)=N
I(慣性モーメント)=∫r^2(M/L)dr
　　　　　　　　 =(1/3)L^2M
N(力のモーメント)=-kLsinθL
微小振動なので、sinθ≒θとして
　　　　　　　　N=-kL^2θ
∴(1/3)L^2M(d^2θ/dt^2)=-kL^2θ
　　　 d^2θ/dt^2=-3kθ/M
∴dθ/dt=√3k/M
　　　　=ω(角振動数)
振動数:f=ω/2π
　　　=(√3k/M)/2π
　　　　　　　　　　　　※^2:二乗

となりました。
これで合っているかどうか全く自身が持てません。
添削よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

題意からすると一端の固定は振動と言うより、蝶番で自由に回転できるような。でないとヤング率とか関係するか？

d^2θ/dt^2=-3kθ/Mは正しいと思いますが
∴dθ/dt=√3k/M=ω(角振動数)
ではありません。この式を微分すれば上の式と異なります。ちなみにdθ/dtは角速度です。ただし、
振動数:f=ω/2π=(√3k/M)/2πはあっています。

ややこしいですね。やはり、微分方程式
d^2θ/dt^2=-3kθ/M=-ω^2・θとして
をまっとうに解くと、一般解は
θ=Asinωt+Bcosωtとなって角振動数はωになります。

お礼

なるほど、そういうことですか。
丁寧な解説ありがとうございます。