力学の問題について

質問

このような問題に対する答えが少しわかりづらいので、アドバイスをお願いします。
問題)質量Ｍである物体が摩擦のない台におかれ３つの同等なばね（ばね定数k）でつながれている（格子振動のモデル）この時、左右方向の運動だけを考えると、この物体が基準振動（角振動数ω）をしていると考えると、ω＝(K/M)^1/2 、(3K/M)^1/2が求められます。

このとき、台を外力で一定の振動数で左右に振動させるとき、台上の物体と共鳴する振動数はいくらかという問題です。
ω＝(K/M)^1/2では、基準振動で物体は同じ方向に変位して、共鳴しそうなのですが、(3K/M)^1/2でも、共鳴するのでしょうか？

回答No.1

inara · ベストアンサー

面白い問題なので考えてみました。
外力がないときの連立微分方程式は以下の通りで、Advance25 さんもこれを出発点にしていると思います。
　　　m*d^2x1/dt^2 = k*( x2 - x1 - L )
　　　m*d^2x2/dt^2 = k*( x3 - x2 - L ) - k*( x2 - x1 - L )
　　　m*d^2x3/dt^2 = - k*( x3 - x2 - L )
x1, x2, x3 は 3つの物体の位置、L は静止状態での物体間の距離（バネの自然長）です。t = 0 での物体の位置（初期条件）を x1 = -L、x2 = 0、x3 = L としたとき、この解は以下のように、並進運動（振動なし）と、角周波数 ω ＝√( k/m ) での振動と、角周波数 √3*ω での振動という3つのモードの線形結合になります。
　　　x1(t) = C1*t - √( L^2 + C2^2 )*sin( ω*t + φ ) + C3*sin ( √3*ω*t )
　　　x2(t) = C1*t 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-2* C3*sin ( √3*ω*t )
　　　x3(t) = C1*t + √( L^2 + C2^2 )*sin( ω*t + φ ) + C3*sin ( √3*ω*t )
　　　ただし φ = arctan( L/C2 )
C1、C2、C3 は定数ですが、C3 = 0 の場合は 3*ω の振動は全ての物体で起こりません。C1 = 0 は並進運動しない場合に相当します。 C3 <> 0 のとき、C1 と C2 の値が何であっても、物体2 には 3*ω の振動しか起こりません。物体 1 と 3 は ω の振動と 3*ω の振動が混在しますが、ωの振動は位相が互いに逆で、3*ω の振動の位相は物体 2 と逆でかつ振幅が半分になります。

t = 0 での3つの物体の速度を v1、v2、v3 としたとき、C1、C2、C3 は定まり
　　　C1 = ( v1 + v2 + v3 )/3
　　　C2 = ( v1 - v3 )/( 2*ω )
　　　C3 = ( v1 - 2*v2 + v3 )/( 6*√3*ω )
となります。

したがって
　　　・　どのような場合であっても物体1 と 3 には、角周波数が ω で同じ振幅と位相の振動が起こるが、物体 2 にはこの振動は起こらない
　　　・　t = 0 で v1 - 2*v2 + v3 = 0 の場合、角周波数 3*ω の振動は起こらない
　　　・　t = 0 で v1 - 2*v2 + v3 <> 0 の場合、角周波数 3*ω の振動が全ての物体で起きるが、物体 2 の位相は他と逆相で、振幅は2倍になる
となります。初期状態で、例えば全ての物体に同じ力を与えると v1 = v2 = v3 なので v1 - 2*v2 + v3 = 0 となって、角周波数 3*ω の振動はどの物体にも起こりません。v1 - 2*v2 + v3 <> 0 となるような初期速度を与えると、3*ω の振動が起こりますが、それは物体 1 と 3 だけです、物体 2 にはどんな場合であっても 3*ω の振動は起こりません。