材料力学のトラス構造の問題について・・・

質問

材料力学のトラス構造の問題について分からない、何度挑戦
しても数値が求まらないです。 どなたか力を貸して下さい<(_ _)>

問題の内容は「（図１０．３１←添付画像）のように、骨組み構造のＡ点に水平

に外力Ｐが作用している。
点Ａの荷重方向の変位と点Ａの垂直方向の変位を求めよ。」
という問題で解答には
「荷重方向の変位：δ=√3Pl/3AE
垂直方向の変位：δ=(2√3-3)Pl/3AE」

と書いてあるだけで、回答の手順のようなものはのっておらず、
自分で解いてみますが、どこで間違えているのかも分からず、
八方塞がりの状態です。
おねがいですが、どなたかヒント、式の立て方、手順何か教えていただけると
有り難いです、どうかよろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

まったく専門外で，物理の基礎のみいくらか知る者です。材料力学の専門からすればもっと整理された手順があるのかもしれませんが，力学の基本から考えれば，次のような感じだと思います。

A点の変位が，右方向にδx，上方向にδyとします。すると，例えばABの伸びは，微小変位の1次近似をとって，

ΔAB = √{(L + δx)^2 + (L/√3 - δy)^2} - 2L/√3
　　≒ AB × (3δx - √3δy)/(4L)

ヤング率の定義から，ABの張力は

f_(AB) = EA (ΔAB/AB)　　；Aは断面積
　　　 = (3δx - √3δy)EA/(4L)

同様に，f_(AC)，f_(AD)を求めます。

3力に成立する条件は，Pとのつりあいから

P = f_(AC) + √3/2・f_(AB) + 1/2・f_(AD)
0 = 1/2・f_(AB) - √3/2・f_(AD)

これを，δxとδyの連立方程式として解けば，結果を得ます。

お礼

回答ありがとうございます！！
yokkun831さんに回答してもらった、方法を使って
明日のテストには望みたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

トラスの問題と言う事で、力の釣り合い式：

　　1)水平方向の力の釣り合い式．
　　2)鉛直方向の力の釣り合い式．
　　3)モーメントの釣り合い式．

だけで、解こうとしていないでしょうか？。でもこの3ヒンジトラスは、支点が3ヒンジなので、水平と鉛直の反力が、各支点で2個あり、2×3＝6個の未知数があります。従って、1)～3)の3つの条件式だけでは、解けません。

＞数値が求まらない・・・

は当然となります。1)～3)を満たす解は無数にあるからです。

　一般的な話をします。1)～3)だけで反力が求まる構造（反力は常に3個いかです）を、静定構造物と言います。静定構造物は、1)～3)だけで反力が求まるので、反力を求めた後では、それぞれの部材も静定になるので、ＥやＡと関わりなく部材力が求まります。
　一方、不静定構造物では反力（4個以上）は、ＥやＡを決めて初めて反力が決まり、それらには（Ｅ，Ａ）が含まれます。よって、反力決定後、それぞれの部材の静定計算においても、部材力にＥやＡが関係します。

　構造力学における一般的な手順は以下です。

　　a)全体系の支点反力を何とかして求める（静定の場合も不静定の場合もある）．
　　b)支点反力さえ決まれば、部材については静定の場合の場合が多いので、1)～3)に戻って、部材力を求める．
　　c)部材力が決まれば、部材の(Ｅ，Ａ)から変位も出る．つまり静定でも不静定でも、変位には(Ｅ，Ａ)が関係する．

という手順になります。

　要するに構造力学における難関は、支点反力をどうやって決定するかです。それさえ出来れば、1)～3)に戻って部材力を計算し、後は自由自在です。

　質問者様が、どのような環境にいるかわかりませんが、この例は不静定構造です。構造力学において不静定構造の解法は、次のどれかになります。

　　1.微分方程式
　　2.最小働の原理
　　3.仮想働の原理
　　4.たわみ角法

　現実問題として、1.はお奨めできません（原理は簡単だけど面倒です）。4.は現在本が出てるかどうかも怪しいです。それで2.または3.となりますが、お持ちの本に、2.や3.は載っていないでしょうか？。

　今見ましたが、たぶん#1さんの仰っている手順を組織化したものが、上の手順です。

お礼

回答ありがとうございます。
すごく詳しく、この分野にとても精通している
方なのだと感じました！
ddtddtddtさんの回答を参考に
もう一度じっくり問題に取り組みたいと思います。
回答本当にありがとうございました。