物理のエッセンス 力学

質問

滑らかな水平面と曲面をもつ質量Mの台が静止している。
質量mの小球Pが速さv0で台に飛び乗ってきた。
Pが台上最も高い位置に来た時の台の速さVを求めよ。
Pがあがった高さhを求めよ。
という問題で、解答には
「水平方向には外力がないので、運動量保存則が成り立つ（鉛直方向は重力があるのでダメ）。」
と書かれていたのですが、納得いきません。
重力も台から受ける反作用によって、打ち消される（つまり、鉛直方向でも運動量保存則が成り立つ）と思います。間違ってますか？

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

>重力も台から受ける反作用によって、打ち消される（つまり、鉛直方向でも運動量保存則が成り立つ）と思います。間違ってますか？

残念ながら、間違っています。

>鉛直方向でも運動量保存則が成り立つ
としたら、小球，台の鉛直方向の運動量の合計が最初からずーっと同じだということになりますが、そのようなことはありえません。

まず、小球が運動し始めた直後。
台は静止していて、小球は水平方向に運動していたのですから、両者の、鉛直方向の速度は共に０、つまり、鉛直方向の運動量の総和は０だったはずです。
その後、小球が台の曲面に沿って上昇し始めた後。
台は水平方向に進むので、台の、鉛直方向の運動量は依然として０のままですが、小球は曲面に沿って上昇していくので、鉛直方向の速度成分を持つようになったはずです。つまり、小球の方は、鉛直方向の運動量が０ではなくなるのです。このように、系の、鉛直方向の運動に限って見れば、運動量が変化していますから、運動量保存則は成立していないのは明らかでしょう。　

百歩譲って、鉛直方向の運動量が保存されているとしたら、どのような事態が考えられるでしょうか。
最初から最後まで、小球は上昇できない、つまり小球と台が、まったく同じ速度で水平方向に進むようになるとしか考えられません。それが事実だとしたら、最初に台は静止しており、小球が曲面に差し掛かった直後から小球と同じ速度で進み始めたはずです。瞬間的に速度が０から非０に変化するのですから、加速度の大きさが無限大でなければなりません。そのためには、台には水平方向に無限大の大きさの力が働かなければなりません。その力を及ぼすのは小球しかありえません。当然のように、その反作用を小球は受けるはずですから、小球の速度がどうなるかは判断できません。控えめに見ても、止まってしまいますでしょう…。
このようなことは想像することができません。この異常な事態を導いたのは、鉛直方向について運動量が保存されると仮定したからにほかなりません。

力の釣り合いが成り立っているかということも考えてみましょう。
小球が台の曲面に沿って、上昇中の状況を考えます。
(1)小球について
小球に作用している力は、重力（ｍｇの大きさで鉛直下向き）と、台から受ける垂直抗力（質問に添付されている図の、実線矢印で示された力Ｎ）です。
これら２力は、向きが平行ではないので、(大きさがどうであれ)打ち消し合うことはありえません。
Ｎを、水平方向成分と鉛直方向成分とに分解してみたとき、この鉛直方向成分と重力とが打ち消し合うでしょうか。
いいえ、鉛直方向に限っても、合力＝０となることはありえません。
何故なら、水平方向の運動から曲面に沿って上昇する運動に切り替わる時、小球の鉛直方向の速度が変化していることが明らかだからです。鉛直方向の速度が変化しているのなら、鉛直方向に加速度を受けているはずです。その加速度を生み出しているのは、小球に働いている合力の鉛直方向成分に他なりませんから、鉛直方向でも力が釣り合っているはずがありません。
(2)台について
台には、重力（Ｍｇの大きさで鉛直下向き）と、小球から受ける抗力（図の点線矢印で示されている力Ｎ）と、床面からの垂直抗力（Ｒとしておきます。向きは鉛直上向き）の３力です。
ＭｇとＲとは互いに平行で反対向きですが、Ｎはこれらとは平行でありませんから、こちらの３力も打ち消し合うことはありえません。
ただ、台の鉛直方向の速度は、ずーっと０のままですから、鉛直方向の加速度は０、つまり、台に作用している、鉛直方向の合力は常に０です。
でも、このことの確認から、問題解決のための有用な情報が得られるかと言えば、否と言うしかありません。

お礼

回答有り難うございます。

補足

すっきりしました