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高校物理 力学

支柱を備えた直方体の台Q(質量M)がなめらかな水平面上におかれ、その左端は鉛直な壁に接している。 支柱の上端Oには長さl(エル)の軽くて伸び縮みしない糸が結ばれており、糸の他端には小球P(質量m)が取り付けられている。 今、糸を張ったままPをOと同じ高さの点Aまで持ち上げ静かに放した。その後のPの位置を線分OAから半時計まわりに測った糸の回転角をθで表すものとする。 重力加速度gとして以下の問いに答えよ。 (1)θが0<θ<90°のとき (ア)Pの速さを求めよ。 (イ)Pの加速度の大きさをgとsinθを用いて表せ。 (ウ)糸の張力の大きさを求めよ。 (エ)台Qが鉛直な壁からうける抗力の大きさが最大となるときのtanθと抗力の最大値を求めよ。 (2)Pが最下点を通過した後、はじめてθが最大となったとき (ア)台Qの速さを求めよ。 (イ)θの最大値θmを150°としたい。このときの台Qの質量Mをmのみを用いて表せ。 (3)はじめて最下点を通過したPがθ(<θm)の位置を最高点(θ=θm)に向かって運動しているとき、Pの速度の水平線分Vx、Vy、台Qの速さをVとする。台Q上の観測者から見るとPは点Oを中心として回転しているように見えることからVx Vy Vおよびtanθの間に成り立つ関係式を書け。 (4)Pが2回目に最下点を通過するときのPおよび台Qの速度をそれぞれ求めよ。 ただし、速度は水平右向きを正とする。 また、はじめて最下点を通過するときのPの速度をV'とし、m、M、V'を用いて答えよ。 ボリュームありますが、添付した画像を参考にお願いします。

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noname#154783
noname#154783

(1) 0°< θ < 90°のとき,台には糸の張力が左向きに働くが,もちろん壁のために台は左には動けないので(もちろん右に動く理由もないので),小球Pのみの系において力学的エネルギー保存則が使える. (ア) 点Aの高さを位置エネルギーの基準にとると,求める速さをvとして, 0 = mv^2 /2 - mgl sin θ ∴v = √(2gl sin θ). (イ) 小球Pの軌道(円周)の接線方向と法線方向に分けて運動方程式を立てる. 円運動故,法線方向には加速度をもたないから,接線方向の加速度が求める加速度となる. 求める加速度をaとして,接線方向の運動方程式を立てると, ma = mg cos θ ∴a = g cos θ. ところが,この問題には > Pの加速度の大きさをgとsinθを用いて表せ。 とあるので, cos θ = √(1 - sin^2 θ) を用いて, a = g√(1 - sin^2 θ). (ウ) 糸の張力をTとして法線方向の運動方程式を立てると, mv^2 /l = T - mg sin θ T = mv^2 /l + mg sin θ = 2mg sin θ+ mg sin θ = 3mg sin θ. (エ) 糸が台Qを左に引っ張る力は T cos θ. 台Qがこの力を受けても動かないということは,台は右向きに同じ大きさの垂直抗力 N = T cos θ = 3mg sin θ cos θ = (3/2) mg sin(2θ) を受けていることになる. 0°< θ < 90°の範囲でNが最大になるのは θ = 45°のときで,このとき tan θ = 1, N = (3/2) mg. (2) (ア) 小球Pが最下点を通過する瞬間の運動量は p = mv(θ = 90°) = m√(2gl). これが(小球P + 台Q)の系の運動量の水平成分として保存される. θが最大になった瞬間,台Qに対する小球Pの相対速度は0になるはず.すなわち,この瞬間,小球Pと台Qは壁に対して同じ速度Vmで運動すると考えられる. m√(2gl) = (M + m)Vm ∴Vm = m√(2gl) /(M + m). (イ) 力学的エネルギー保存則より 0 = (M + m)Vm^2 /2 - mgl sin θm. この式に Vm = m√(2gl) /(M + m), θm = 150° を代入して整理すると, M = m. (3) θのとり方がちょっとややこしいのに注意して,φ = θ - 90°と置くと, Vy/(Vx - V) = tan φ = tan(θ - 90°) = -1/tan θ. すなわち,求める関係式は Vy/(Vx - V) = -1/tan θ. (4) 改めて,求めるP,Qの速度をそれぞれv,Vと置く. 運動量の水平成分の保存より mV' = mv + MV. エネルギー保存則より(改めて最下点を位置エネルギーの基準とすると) mV'^2 /2 = mv^2 /2 + MV^2 /2. 2式を連立させて解くと, V = 0 または 2mV'/(M + m) となるが,小球Pが初めて最下点を通過したのち,台を引っ張る糸の張力の水平成分は,小球Pが2回目に最下点を通過するまで右を向きっぱなしなので,台は右に加速されているはずで,V > 0と考えられる. ∴V = 2mV'/(M + m). v = -(M - m)/(M + m) V'. # ボリュームがありすぎて,計算間違ってるかもしれません.検算してください.

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ご丁寧に考え方も解説して下さってありがとうございます。すごい助かりました。 しっかりこの問題をものにしたいです。

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