高校物理 力学

質問

支柱を備えた直方体の台Ｑ（質量Ｍ）がなめらかな水平面上におかれ、その左端は鉛直な壁に接している。
支柱の上端Ｏには長さｌ（エル）の軽くて伸び縮みしない糸が結ばれており、糸の他端には小球Ｐ（質量ｍ）が取り付けられている。
今、糸を張ったままＰをＯと同じ高さの点Ａまで持ち上げ静かに放した。その後のＰの位置を線分ＯＡから半時計まわりに測った糸の回転角をθで表すものとする。
重力加速度ｇとして以下の問いに答えよ。

（１）θが０＜θ＜90°のとき
（ア）Ｐの速さを求めよ。
（イ）Ｐの加速度の大きさをｇとsinθを用いて表せ。
（ウ）糸の張力の大きさを求めよ。
（エ）台Ｑが鉛直な壁からうける抗力の大きさが最大となるときのtanθと抗力の最大値を求めよ。

（２）Ｐが最下点を通過した後、はじめてθが最大となったとき
（ア）台Ｑの速さを求めよ。
（イ）θの最大値θmを150°としたい。このときの台Ｑの質量Ｍをｍのみを用いて表せ。

（３）はじめて最下点を通過したＰがθ（＜θm）の位置を最高点（θ=θm）に向かって運動しているとき、Ｐの速度の水平線分Vx、Vy、台Ｑの速さをＶとする。台Ｑ上の観測者から見るとＰは点Ｏを中心として回転しているように見えることからVx Vy Ｖおよびtanθの間に成り立つ関係式を書け。

（４）Ｐが２回目に最下点を通過するときのＰおよび台Ｑの速度をそれぞれ求めよ。
ただし、速度は水平右向きを正とする。
また、はじめて最下点を通過するときのＰの速度をV'とし、ｍ、Ｍ、V'を用いて答えよ。

ボリュームありますが、添付した画像を参考にお願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

(1)
0°< θ < 90°のとき，台には糸の張力が左向きに働くが，もちろん壁のために台は左には動けないので（もちろん右に動く理由もないので），小球Pのみの系において力学的エネルギー保存則が使える．

(ア)
点Aの高さを位置エネルギーの基準にとると，求める速さをvとして，
0 = mv^2 /2 - mgl sin θ
∴v = √(2gl sin θ).

(イ)
小球Pの軌道（円周）の接線方向と法線方向に分けて運動方程式を立てる．
円運動故，法線方向には加速度をもたないから，接線方向の加速度が求める加速度となる．
求める加速度をaとして，接線方向の運動方程式を立てると，
ma = mg cos θ
∴a = g cos θ.

ところが，この問題には
> Ｐの加速度の大きさをｇとsinθを用いて表せ。
とあるので，

cos θ = √(1 - sin^2 θ)

を用いて，
a = g√(1 - sin^2 θ).

(ウ)
糸の張力をTとして法線方向の運動方程式を立てると，
mv^2 /l = T - mg sin θ
T
= mv^2 /l + mg sin θ
= 2mg sin θ+ mg sin θ
= 3mg sin θ.

(エ)
糸が台Qを左に引っ張る力は T cos θ.
台Qがこの力を受けても動かないということは，台は右向きに同じ大きさの垂直抗力
N = T cos θ = 3mg sin θ cos θ = (3/2) mg sin(2θ)
を受けていることになる．

0°< θ < 90°の範囲でNが最大になるのは θ = 45°のときで，このとき
tan θ = 1,
N = (3/2) mg.

(2)
(ア)
小球Pが最下点を通過する瞬間の運動量は
p = mv(θ = 90°) = m√(2gl).
これが(小球P + 台Q)の系の運動量の水平成分として保存される．

θが最大になった瞬間，台Qに対する小球Pの相対速度は0になるはず．すなわち，この瞬間，小球Pと台Qは壁に対して同じ速度Vmで運動すると考えられる．

m√(2gl) = (M + m)Vm
∴Vm = m√(2gl) /(M + m).

(イ)
力学的エネルギー保存則より
0 = (M + m)Vm^2 /2 - mgl sin θm.

この式に
Vm = m√(2gl) /(M + m),
θm = 150°
を代入して整理すると，
M = m.

(3)
θのとり方がちょっとややこしいのに注意して，φ = θ - 90°と置くと，
Vy/(Vx - V) = tan φ = tan(θ - 90°) = -1/tan θ.

すなわち，求める関係式は
Vy/(Vx - V) = -1/tan θ.

(4)
改めて，求めるP，Qの速度をそれぞれv，Vと置く．

運動量の水平成分の保存より
mV' = mv + MV.

エネルギー保存則より（改めて最下点を位置エネルギーの基準とすると）
mV'^2 /2 = mv^2 /2 + MV^2 /2.

2式を連立させて解くと，
V = 0 または 2mV'/(M + m)
となるが，小球Pが初めて最下点を通過したのち，台を引っ張る糸の張力の水平成分は，小球Pが2回目に最下点を通過するまで右を向きっぱなしなので，台は右に加速されているはずで，V > 0と考えられる．
∴V = 2mV'/(M + m).

v = -(M - m)/(M + m) V'.

# ボリュームがありすぎて，計算間違ってるかもしれません．検算してください．

お礼

ご丁寧に考え方も解説して下さってありがとうございます。すごい助かりました。

しっかりこの問題をものにしたいです。