固有振動数を求める問題について

質問

質量m,長さLの一様な剛体棒の一端がピポットされ,中央の点にこわさkのばねが45°の角度でかけてある。この系の固有振動数はいくらか。

という問題ですが,振動の問題は本当に基本的なものしかやっていないので,どうしても解けません。
どなたか解いてもらえないでしょうか。。

回答No.1

SKJAXN

見辛くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため定積分の表記を{a→b}∫f[x]dx、n次微分の表記を(dn/dtn)f[x]、シグマ和の表記を{a→b}Σf[n]、物理量Xのベクトル表記を#X、スカラー積を*、ベクトル外積を×とさせていただきます。

ところでバネの反対端は、剛体棒中央から下方45°で、ピボットと同じ床面に自然長で取り付けてあるという認識でよろしいでしょうか？　すなわち、「剛体棒の中心」、「ピボット」、「バネの床面への取り付け位置」から、短辺(L/2)の直角二等辺三角形が形成されているイメージです。もし異なる場合、例えば上方45°であれば、バネの取り付け位置か、自然長をご教示願います。ここでは、前者という認識で解答いたします。

まず、剛体棒の慣性モーメントを計算します。剛体棒の質量密度をρとすると、ρ=m/L です。ピボットから上方の位置yとy+dyの微小部分の質量は、ρdyです。微小部分の慣性モーメントdIは、dI=y^2*ρdy で表わせます。これを0からLまで積分すると、ピボット中心の慣性モーメントが求まります。すなわち、
I={0→L}∫(y^2*ρ)dy=ρ/3*{0→L}[y^3]=ρ*L^3/3 となり、ρを代入すると
I=m*L^2/3 →{1}

次に、剛体棒に対してバネが右側に取り付けられてあり、かつ剛体棒が角度θだけ左側に傾いたとして、自然長√2*(L/2)[∵ 45°の直角二等辺三角形の長辺]からのバネの伸び長を計算します。「剛体棒の中心」、「ピボット」、「バネの床面への取り付け位置」から成る二等辺三角形の長辺はバネの全長であり、その全長は、成す角度 π/2+θ に基づく余弦定理から (L/2)*√2*√(1+sinθ) と求まりますので、伸び長δは
δ=(L/2)*√2*√(1+sinθ)-√2*(L/2)=√2*(L/2)*(√(1+sinθ)-1) →{2}

ここで、この二等辺三角形のその他の角度φを求めると、
φ=(π-(π/2+θ))/2=π/4-θ/2 →{3}

次に、剛体棒の中心に作用する左回転を正(右手で左方向にネジを回したときの親指の向きが正)にとった力のモーメントを計算します。角度θだけ左側に傾いた剛体棒の中心には、下方に重力m*gと、バネの床面への取り付け位置方向に弾性力k*δが作用します。ここで力のモーメントベクトル#Nは、回転軸(ピボット)から力の作用点(剛体棒の中心)へ向けたベクトルを#r、力の方向ベクトルを#Fとすると、#N=#r×#Fです。向きは、#rから#Fへ向けてπより小さい角度方向に右手を回したときの親指の向きです。その大きさは、2つのベクトルで形成される平行四辺形の面積です。よって重力のモーメントは
(L/2)*m*g*sin(π-θ)=(L/2)*m*g*sinθ(向きは、右手で左に回した親指の方向) →{4}

弾性力のモーメントは
-(L/2)*k*δ*cos(π/2+φ)=-(L/2)*k*δ*sinφ(向きは、右手で右に回した親指の方向) →{5}

次に、剛体の運動方程式は時刻をtとすると
I*(d2/dt2)θ=(L/2)*m*g*sinθ-(L/2)*k*δ*cos(θ+φ)
⇔ m*L^2/3*(d2/dt2)θ=(L/2)*m*g*sinθ-(L/2)*k*√2*(L/2)*(√(1+sinθ)-1)*cos(π/4+θ/2)
=(L/2)*m*g*sinθ-(L/2)*k*(L/2)*(√(1+sinθ)-1)*(cos(θ/2)-sin(θ/2))
=(L/2)*m*g*sinθ-(L/2)*k*(L/2)*(√(1+sinθ)-1)*(1/√2)(√(1+cosθ)-√(1-cosθ)) →{6}

ここで剛体棒が振動する状態であるためには、sinθ=θ、cosθ=1が成立する範囲に限られます。これを考慮すると式{6}は
m*L^2/3*(d2/dt2)θ=(L/2)*m*g*θ-(L/2)^2*k*(√(1+θ)-1)*(1/√2)(√(1+1)-√(1-1))
=(L/2)*m*g*θ-(L/2)^2*k*(√(1+θ)-1) →{7]

また式{7}には平方根が含まれていますので、これをマクローリン展開により多項式へ変形します。マクローリン展開は f[x]={0→∞}Σ((dn/dtn)f[0]/n!*x^n) ですので、これを1次の項まで展開します[∵ sinθ=θ、cosθ=1もマクローリン展開により1次の項まで展開された結果であるため]。
f[θ]=√(1+θ) とおくと
f[θ]=f[0]+(d/dx)f[0]/1!*θ=√(1+0)+1/√(1+0)*θ=1+θ →{8}

式{8}を式{7}に代入して整理すると
m*L^2/3*(d2/dt2)θ=(L/2)*m*g*θ-(L/2)^2*k*θ
=L^2/4*((2/L)*m*g-k)*θ
⇔(d2/dt2)θ=-3/4*(k/m-2*g/L)*θ →{9}

式{9}は、θ=0を中心とし、角速度ω=√(3/4*(k/m-2*g/L))の単振動を表わしている[∵ (d2/dt2)θ=-ω^2*θの形式は、単振動の式であるため]。
よって固有振動数foは、ω=2π*foより
fo=1/(2π)*√(3/4*(k/m-2*g/L));

いかがでしょう？