振動力学の問題が分からないので教えてください

質問

振動力学の問題が分からないので教えてください。

図に示すように両端に質量mを有する軽い剛体棒が2つのばね(ばね定数k)に支持され振動している。
このばねー質点系の振動(図は平衡位置)について、微小振動の振動方程式を求めよ。
後固有円振動数ならびに振動比を求めよ。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんばんは。
この問題について、ちょこっと考えてみました。

左側のバネの伸び x1
右側のバネの伸び x2
質量mが先についている棒と水平方向のなす角度をθとする

微小変位なので、
　sinθ = tanθ = (x1-x2)/l
という関係があります。

すると、
　質量mの変位y = バネBの伸び + 2l{(x1-x2)/l} = x2 + 2(x1-x2) = 2x1-x2
　速度v = dy/dt = 2・x1' - x2'
　運動エネルギー T = (1/2)・mv^2 = (1/2)・m・(2・x1' - x2')^2
　= (m/2)・(4・(x1')^2 -4・x1・x2 + (x1')^2)

一方、バネのポテンシャル・エネルギーUは
　U = (1/2)・k(x1)^2 +(1/2)・k(x2)^2

よって、ラグランジアンLは
　L = T- U = ……
ラグランジアンが求まったのだから、これをラグランジュの方程式に入れて、
一生懸命、計算をすれば、
運動方程式が出てくる。

やると、
　───暗算による、極めていい加減な推測です。間違っている可能性は大アリ！！
ですから、真面目に計算してください───
　2・m・(2x1''-x2'') = -kx1
　m・(x2''-2x1'') = -kx2

で、
　x1 = Asinωt + Bsinωt
　x2 = Csinωt + Dcosωt
として、求めた運動方程式に代入して、A、B、C、Dの関係と、ωを求める。
面倒なので、やる気はまったくありません。

ラグランジアンLを実際に計算し、
運動方程式を求め、
微分方程式を解いてください。