連成振動の力学的エネルギーについて

質問

物理学で出題された連成運動の問題の解法がわかりません。
連成振動の問題では、固有値を用いて解くと教わったのですが、２つの運動方程式を
行列表示にできません。どの様に解けばよいのでしょうか。ご意見よろしくお願いします。

[問題]
左から「壁|バネ1+物体1+バネ2+物体2」となっている連成振動で、
物体1,物体2の質量をm1,m2、バネ1,バネ2のバネ定数をk1,k2、バネ1,バネ2の自然長をl１,l２
の条件のもと、１次元的に振動する運動をします。質点と床の間の摩擦や空気抵抗、バネの質量
は無視できるものとし、左端の壁からそれぞれの質点までの距離をx1,x2としてこの質点系の
力学的エネルギーの式を導け。

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

NO2の続き。
ωが求まったら（欲しいのはω^2なんだけれど）
それを
　-m1ω^2・A = -(k1+k2)A + k2B
　-m2ω^2・B = k2A - k2B
に代入して、AとBの比を求める。
―――固有値から固有ベクトルを求める操作だね―――

ω^2は二つあるので、固有ベクトルも二つある。
ω^2の大きい方をω1^2、小さいのをω2^2とすると、
　ｙ1 = A1sin(ω1t+φ1) + A2sin（ω2t+φ2)
　ｙ2 = B1sin(ω1t+φ1) + B2sin（ω2t+φ2)
ω1^2の時の固有ベクトルがA1、B1
ω2^2の時の固有ベクトルがA2、B2
ね。

初期条件がないので、これ以上は解けません。

おどろおどろしいので、僕は解く気にはなりませんが（ポリポリ）。

なお、ω1とω2は正の値をとればいいです。

お礼

解く気はないと言いつつも、ここまでアドバイスしていただきありがとうございます。
回答通りに解いていくことで、無事答えにたどり着くことができました。
本当は答えだけ聞いて途中計算は自分で考えようと思っていたのですが、
こうして、答えにたどり着いてみると正直自分ひとりでは解決できなかったと思います。
私は、ネットを使っての質問の回数がまだ少なく、今回に至っては図をイメージしづらかった
と思いますが、そのような中で親切にアドバイスしていただきうれしく思います。
ありがとうございました。

回答No.2

NemurinekoNya

ごめん、ごめん。
微分方程式を思い切り間違っている。

　m1d^2y1/dt^2 = -k1y1 + k2y2
　m2d^2y2/dt^2 = -k2y2
じゃなくて、
　m1d^2y1/dt^2 = -k1y1 + k2(y2-y1) = -(k1+k2)y1 + k2y2　　　　（１）
　m2d^2y2/dt^2 = -k2(y2-y1) = k2y1 - k2y2　　　　　　　　（２）
ですね。

最近、暑くてボケているんだ。

一番ダサい方法は、
　y1 = Asin(ωt+φ)
　y2 = Bsin(ωt+φ)
として、（１）式と（２）式に代入する。
すると、A、Bの連立方程式になります。
で、A=0、B=0という解を持たない条件、行列式=0を使いますと、ωの方程式が出来ます。

とりあえず、AとBの連立方程式を求めるところまでやってごらん。

たぶん、
　-m1ω^2・A = -(k1+k2)A + k2B
　-m2ω^2・B = k2A - k2B
となるはずだから。
で
　○A + △B = 0
　◇A + ▲B = 0
と整理して、
行列式
|○ △|
{◇ ▲}
= 0
を、ωについて解けばよい。
これで取りあえず、ω（角振動数）は求まります。

回答No.1

NemurinekoNya

問題がどこまで要求しているかが不明なのですが、
　運動エネルギーK = (1/2)m1(dx1/dt)^2 + (1/2)m2(dx2/dt)^2
　ポテンシャルエネルギーU = (1/2)k1(x1-l1)^2 + (1/2)k2(x2-x1-l)^2
で、よろしいんでしょうか。

微分方程式
　m1d^2x1/dt^2 = -k1(x1-l1) + k2(x2-x1-l2)
　m2d^2x2/dt^2 = -k2(x2-x1-l2)
を解いて、
そのx1とx2をエネルギーの式に代入するところまで要求しているのでしょうか・・・。
もし微分方程式を解きたいようならば、
　y1 = x1-l1
　y2 = x2-l1-l2
と置きますと、上記の微分方程式は
　m1d^2y1/dt^2 = -k1y1 + k2y2
　m2d^2y2/dt^2 = -k2y2
となって、解きやすくなります。
計算が面倒なので、わたしは解く気がありませんけれども、
計算、頑張って。

計算をする気はさらさらないですけれども、
途中まででもいいですから、
できた所までをお礼蘭や回答欄に書いていただければ、
添削や助言をすることくらいはしますよ。

お礼

アドバイスありがとうございます。
今回求められているのは、微分方程式の解を代入したものの様です。

アドバイスの通りに解いてみたのですが、
微分方程式を積分する時は、0～t[時間]で定積分すればよいのでしょうか？
それとも、不定積分でよいのでしょうか？
不定積分するときは、積分定数Cが２つ出てきますが、この運動の初期条件はどうなるのでしょうか？

たくさん質問して申し訳ありませんが、よろしくお願いします。