円周上の連成振動

質問

質点とばねは、円周上のみを滑らかに運動することができて、ばねの弾性力は円の接線方向のみに働きます。
三つの質点がつり合いの状態で静止していた場合を考えたとき、
円周の長さをL、三つのばねの自然長をℓ、つり合いの状態の質点1の位置を原点として円に沿って反時計回りにx′ 軸をとります。

r = k/k′としたときの質点2のx′座標x′2をr, L,ℓを用いて表したいのですが、解答の方針が立たず困っています。

考え方だけでも構わないので、どのようにアプローチするのか教えていただきたいです。

回答No.2

ohkawa3

回答(1)再出
ご質問のタイトルは「円周上の連成振動」ですが、回答(1)の内容は静止状態を表すだけであって、質点の質量の出番がないままで終わっています。

初期状態の質点の位置と、過渡現象が終息した状態である静止位置に差異があれば、過渡的には振動現象が生じると考えられます。
上記のような過渡現象については、ご質問の範囲外として宜しいでしょうか？

回答No.1

ohkawa3

ご提示の「系」は、無重力空間にあると仮定するのでしょうか？
重力が加わる空間でしたら、質点に加わる重力がつり合い状態に影響を与えるので、重力に対する「円周」の方向を決める必要がありそうです。（重力方向に対する円周の角度を変数で与えてもいいのですが、式が煩雑になるので、見通しが悪いと思います。）

念のための確認ですが、
3本のばねは、自由長が等しく、2本のばね定数がk、残る1本のばね定数がk'ということで宜しいでしょうか？

重力を無視すれば、ばねの長さは、周長の3等分から、ばね定数の逆比に比例して変化する筈ですので、1点を原点として定めれば、他の点の座標は容易に決まりそうに思えます。
変数を使った方程式ではなく、実際の数値を代入して計算した方が手っ取り早いようにも思えます。

補足

解答ありがとうございます。
この系は、水平面内にそれぞれ質量mの質点1,2,3を円周上に配置し、軽いばねで接続している状況を考えています。

『3本のばねは、自由長が等しく、2本のばね定数がk、残る1本のばね定数がk'ということ』で間違いありません。
また今回は、変数で座標を表せ、という問題でした。

円周の３等分から考えればいいのですね…。なるほど。かなり混乱していましたが、幾分希望が見えました。ありがとうございます。