連成振動

質問

｜～～～～～○～～～～～○～～～～～｜　→g
天井　　　　Ｑ　　　　　Ｐ　　　　　床

※この図は右を下にしてみてください。
自然長L、バネ定数kのバネA、B、Cがあり、図のように質量ｍの小球Ｐ，Ｑを取り付ける。
バネは左から順にA、B、Cとします。

（１）Ｐ，Ｑがつりあいの位置にあるときバネABCのそれぞれの伸び（縮み）はいくらか？
（２）Ｐを床方向にd,Ｑを天井方向にdの位置で離した時Ｐがつりあいの位置を通過するときの速さはいくらか？

【解答】
（１）A,B,Cの変位をLa,Lb,Lcとすると
kLa-kLb-mg=0、kLb-kLc-mg=0、La+Lb+Lc=0・・・☆
これらよりLa=-Lb=mg/k、Lb=0
（別解）
図のＰ，Ｑの位置を原点として床向きにXp軸,Xq軸をとると運動方程式★
mXp"=k(Xq-Xp)-kXp+mg
mXq"=-k(Xq-Xp)-kxXq+mg
つりあいの位置はx1"=x2"=0とこの2式から
x1=x2=mg/k→La=-Lb=mg/k、Lb=0

☆★の式が立てられません。バネBの変位がよくわからないみたいです。

（２）エネルギー保存則から出そうと思い
★の運動方程式から導き出そうと思ったのですができません。

解説お願いいただけますでしょうか。わかりにくいところは補足いたします。

回答No.2

chung-san3 · ベストアンサー

まず　重りの変位（伸びがないときの位置からのずれ）をUp, Uqとしましょう。負号はばねが伸びたときを正とします。
この時のそれぞれのばねの長さをLa,Lb,Lcとしましょう。質問では変位をLa,Lb,Lcとしていますが、この方が理解しやすいと思います。
この時にそれぞれのばねの伸びは
ΔLa=up,ΔLb=uq-up,ΔLc=-uq
になりますね。
力の向きは下を＋にしました。

では、重りPに関して力のつりあいを考えると
　ばねaで引っ張られる力；　-kΔLa=-kUp
*上向きなので-にしました
　ばねbで引っ張られる力；+kΔLb=k(Uq-Up)
　　　　＊下向きなので+です。
　重力；　+ｍｇ　下向き
　加速度；ｍUp"

つりあいの式は
-kUp+k(Uq-Up)+mg=mUp"　(1)

次に、重りqに関して力のつりあいを考えると
　ばねbで引っ張られる力；　-kΔLb=-k(Uq-Up)
*上向きなので-にしました
　ばねcで引っ張られる力；+kΔLb=k(-Uq)
　　　　＊下向きなので+です。でも実際には押し上げられていますね。括弧の中が負ですから
　重力；　ｍｇ
　加速度；ｍUq"
つりあいの式は
-k(Uq-Up)+k(-Uq)+mg=mUq' (2)

ここまでくれば（１）と（２）と連立してといてみてください。安定なときは加速度はゼロです。

私も学生時代にこの手の問題には悩みました。
キーポイントは変位（重りの位置のずれ）と歪（ばねの伸び）の関係をつかむことと座標と力の＋－をコンシステントにしておくことです。

ちなみにこの問題は同じようにして2次元、３次元に拡張できます。そのようにして得られた方法が有限要素法と呼ばれるもので、ビルや橋に重力や風で力が加わったときにその構造物がどのように変形するか等に応用されています。　私も現在勉強中なのですが元になる支配方程式が得られた場合に（ほとんどの場合）精度のいいシミュレーションができてたのしい方法です。

回答No.1

ymmasayan

（１）だけですが。
天井と床の距離は３Ｌなのですね。そうしないとLa+Lb+Lc=0となりません。

あとはkLa＝kLb+mg、kLb＝kLc+mgと考えればいいでしょう。つまり張力と重力の和が張力です。

＞これらよりLa=-Lb=mg/k、Lb=0

La=-Lc=mg/k、Lb=0 のミスです。

別解は他の片にお願いします。