バネでつながれた物体の円板上の円運動（高校物理）

質問

円運動
　バネ定数 k、自然長 L のバネの一端に質量 m の物体を接続し、もう一端を静止している円板の中心点 O に固定した。この状態からバネをr - L だけ伸ばすとと、物体はその位置に静止した。

(1)円盤上で物体が静止できる r の最大値 R を求める。重力加速度の大きさを g、物体と円板の静止摩擦係数をμとする。

　　k(R-L) = μmg.　　 ∴ R = L + μmg/k .

(2)物体を r(L < r < R) の位置に置き、円板を静止の状態から回転させ、その速さをゆっくりと増加させたところ角速度がω を越えたとき物体はすべり出した。ω の値を求める。

　遠心力で考えれば、角速度がω に達した瞬間のつり合いの式は
　　k(r-L) + μmg = mrω^2. ・・・・・・・ (*)

　　ω = √( (k(r - L) + μmg)/mr)

　　<----------- r ---------->
　　<------ L ------->
　　O・///////////////////////-■
　　　　　← k(r - L)　　 mrω^2 →
　　　　　← μmg
【質問】
[Q1]ωm > ω のとき、(*)のつり合いのバランスは崩れます。ということは遠心力により外向きに力を受けるので物体の円運動の半径は r より大きくなります。それを r' としたとき物体にかかる力のつり合いの式は
　　k(r'-L) = mr'ω^2. ・・・・・・・ (**)
でいいのでしょうか。つまり円板の各質点の角速度はωm ですが、物体は円板上をすべりながら回転しているのですから、物体と円板は同じ角速度ではあり得ず、
　　角速度がω に達した瞬間
　　角速度がω をわずかに越えた瞬間
を比較すれば(*)よりωのままでいいと思うのですが。

　また r' と(1)のR との関係はどうなるのでしょうか？

[Q2]円板が静止しているとき、静止摩擦力は外向きにはたらきます。ということは角速度が小さいうちは静止摩擦力は外向きにはたらくはずです。角速度がω0になったとき遠心力とバネの弾性力が等しくなったとします。このとき静止摩擦力は 0 になりますが、
　　k(r-L) = mr(ω0)^2. ・・・・・・・ (**)
でバランスがとれているわけですから、静止摩擦力は 0 になったからといってすべったりせず、物体も円板と同じ角速度ω0で回転するのですよね？

回答No.3

teppou · ベストアンサー

再度 teppou です。補足に対する回答が安易に過ぎたかと反省し、その後気付いたこともありますので、追加します。
　前回の回答は、バネの自然長が 0 で、物体の運動とバネが干渉することはないという超理想状態の話でした。
　この運動は、半球形のお椀の内側での質点の運動とほぼ同じになります。運動の範囲がお椀の内側に限られるという制限があります。
　この考えを延長して、バネの自然長とバネを圧縮する運動を考慮すると、ドーナツ型の内側での質点の運動とほぼ同じと考えられます。
　ドーナツが入るくぼみの断面が、半円形をしており、ドーナツ型全体の中心から半円形の最も低い位置までの長さが、バネの自然長と等しくなるように考えると、なめらかな平面上でばねに取り付けた物体の運動と等しくなると考えららます。
　だだ、重力下での F は、mg が最大になるとか、方の大きさによる制限が出るとかの違いがありますが。
　と、このように書きながら、少し釈然としないものがあります。どこか考え違いをしているような気もしています。
　やはり、安易な回答になってしまったかもしれませんが、この辺が私の限界です。
　図を入れられず、わかりにくいかもしれませんが、考えてみてください。

お礼

お礼が遅くなりました。丁寧な回答、まことにありがとうございます。
　思った以上に難しい問題なのですね。でも、大変勉強になり、力学に対する興味がますます高くなってきました。

回答No.2

teppou

teppou です。遅くなりました。
　手持ちの本をひっくり返して、勉強し直してみました。
　確信を持って言えるほどではないのですが、
　なめらかな平面上で、バネでつながれた物体の運動は、要するに単振動になるようです。
　x, y の各方向ごとの単振動の式を合成したものになり、各式の振幅と位相差により直線から円までの運動になりそうです。
　これ以上は、私の能力の限界と表示の煩雑さのためご容赦ください。
　高校物理の範囲では、ちょっと大変かもしれませんが、この先頑張ってみてください。

回答No.1

teppou

[Q1]
　ωm の意味がわかりませんが、
　(*) の状態は、物体がすべり出した瞬間のつり合いで、その瞬間静止摩擦は動摩擦に変わりますので、つり合いは崩れます。
　その場合、通常動摩擦係数は最大静止摩擦係数より小さくなりますので、滑り出しますが、動摩擦の性質として ω とかかわりがなくなります。
　物体は、v = rω の速さで、半径 r の接線方法の慣性運動と、動摩擦による運動、バネによる中心向きの力が合わさった運動になると思われますが、単純に方程式であらわすことはできないように思えます。
　半径 R の位置に物体を置いた場合、物体がすべり出す角速度が最大になるということだと思います。
　[Q2] は、その通りだと思います。

補足

回答ありがとうございます。なかなか回答をいただけないのであきらめておりました。やはりけっこうややこしいのですね。
　もう少し都合のいい設定をして、角速度がω を越えた瞬間から動摩擦力も無視できるものとすれば、バネの復元力だけに支配された（当然バネは伸びる）、初速がrωの '運動' になると思いますが、これはどんな運動になるのでしょう。
　ケプラーの第一法則の導出に倣って極座標系式で運動方程式を記述した場合 R を動径、dθ/dt を角速度として、

　　m(d^2R/dt^2) = mr(dθ/dt)^2 - k(R-L).

　　d(R^2 (dθ/dt))
　　-------------- = 0.
　　　　 dt

　これでいいのでしょうか？
　いいとしても解けるのですかね?