回転座標系と等速円運動

質問

少し抽象的な質問です。

一般に、合力Ｆが働いている物体(質量m)を、等角速度ωで直行固定XY軸に対し時計回りに回転する直行xy座標で考えた時、

mx¨(←ツードットのつもりです)= Fx + 2mωy・(←ドット)+ mω^2 x　…(式(1)),

my¨= Fy + 2mωx・+ mω^2 y,

運動方程式は上のようになると思います。

一方、平面で半径rの等速円運動をする(角速度ω)物体について、回転の中心に向かってx軸が正方向になるように動く座標を設定した時、それを静止した観測者の立場から運動方程式を立てると、

mrω^2=Fx
(x¨=rω^2　←この式は回転座標系から導出されますよね…？)

となると思います。(働いている力は簡単のためまとめてＦとしました)

これを、物体に乗った立場から考えると、

m×(←かける)0 = Fx - rω^2　…(式(2))

となり、遠心力が式のかたち上現れる、ということまでは分かるのです。

そこで、これらの式たちがどう関連しているか、ということを考えてみようと思ったのですが、混乱してしまいました。

式(1)の　mω^2 x　の x に r を代入すると式(2)の遠心力に等しくなるので、何か上手く対応しているのかと思ったのですが…。

回転座標系、慣性系、非慣性系、考えているうちに自分がどの立場で式を立てているのか混乱してしまいました。

曖昧な質問で申し訳ないですが、どうしても頭がすっきりしないので質問させて頂きました。
説明不足があったらまた書き足します。
何か関係があるのか、知っている方がいらっしゃいましたら、ご回答宜しくお願いします。

補足：高校生なので、コリオリの力についてはあまり分かりません。今回は関係ない…と思うのですが…。

回答No.1

ppyiam · ベストアンサー

一番上の２つの式のそれぞれの右辺の第２項の-2mωy・、2mωx・というのが通常コリオリの力と呼ばれるものですが、等速円運動をしている物体は回転座標系から見れば座標は変化しませんから、x・＝y・＝x¨＝y¨＝0となりコリオリの力は働きません。なので上の式は単純に
0= Fx + mω^2 x,
0= Fy + mω^2 y
となり、コリオリの力は今回の話題には関係ないことがわかります。

おそらくあなたは観測系のとりかたというより、座標の取り方で混乱しているのではないでしょうか？
一番上の式は(x,y)座標系において回転座標系上で記述されている運動方程式です。

＞回転の中心に向かってx軸が正方向になるように動く座標を設定した時
この時のあなたのx軸の取り方からして(r,θ)座標系、つまり極座標であなたは座標を設定しています。
あなたの座標のとり方的にr=-xの関係があるようです。
確かに
0= Fx + mω^2 x,
0= Fy + mω^2 y
のx,yをrにすれば極座標でのr方向の運動方程式0 = Fr + mrω^2と同じ形になりますが、これは物体が等速円運動をしているためたまたま一緒になっているだけです。この「たまたま」は次のようにして分かります。
等速円運動をしている時、物体には向心力(r方向の力)しか働いていません。なので今は
x=rcosθ,y=rsinθに加えてFx=Frcosθ,Fy=Frsinθの関係がありますから、0= Fx + mω^2 xに代入すると、
0= (Fr + mω^2 r)cosθ
となり、x方向の運動方程式は本質的にr方向の運動方程式と変わらない事が分かります。

お礼

丁寧な回答有難うございました。
極座標系…意識せずに使っていました…。
たまたまなのですね。
頭がすっきりしました。

＞おそらくあなたは観測系のとりかたというより、座標の取り方で混乱しているのではないでしょうか？

はい、その通りです。
観測系の取り方＝座標の取り方だと思っていました…。違うのですね。

高校の教科書では絶対に解りませんでした。
ここに質問して良かったです。

本当に有難うございました！