剛体運動の回転方向について

質問

コンピュータを使って、3次元空間での剛体の回転運動のシミュレーションを作っております。回転について少し混乱してきたので、教えてください。

物体の基本姿勢での慣性テンソルを Iobj
時刻tでの角運動量を L(t)
時刻tでの角速度を ω(t)
時刻tでの姿勢を θ(t)
時刻tでの姿勢を表す回転行列を R(t)　（基本姿勢を時刻tでの姿勢に回転させる行列）
としたときの回転を考えると、

ω(t) = (R(t) Iobj R(t)')^-1 L(t)　（R(t)' は R(t) の転置行列です）
θ(t) = θ(t-Δt) + ω(t)Δt

となることが分かってきました。ここで、最初の行で求まる ω(t) というのは、ワールド座標系（物体の外側の変化しない観測者）から見た方向の速度なのでしょうか？それとも、ローカル座標系（物体の現在の姿勢）から見た方向の速度なのでしょうか？

自分でも混乱していますので何か間違えているかもしれませんが、回転の基準について分からなくなってきたので、教えてください。

回答No.2

metzner · ベストアンサー

No1です。　了解しました。四元数だったんですね。

では質問に答えます。

空間固定座標での剛体の点 i の位置を x_i(t) , 剛体固定座標での剛体の点 i の位置をx_iとする。すると、これらは回転行列 R(t) を用いて、

x_i(t) = R(t)x_i

と書ける。　空間固定座標からみた点 i の速度は

v_i(t) = R'(t)x_i = R'(t)R^t(t)x_i(t) = W(t)×x_i(t)

となります。ここで、R'(t) は R(t) の時間微分です。
また W(t) は反対称行列　A(t) = R'(t)R^t から定まるベクトルです。
上式より W(t) が空間固定での角速度ベクトルとなります。

空間固定座標系からみた角運動量 L(t) は

L(t) = \sum_i m_i x_i(t)×v_i(t) = \sum_i m_i R(t)x_i × R'(t)x_i
= R(t)\sum_i m_i x_i ×R^t(t)R'(t)x_i
= R(t)I_objw(t)

w(t) は反対称行列 a(t) = R^t(t)R'(t) から定まるベクトルです。

A(t) = R(t)a(t)R^t(t)

の関係があるのは容易に分かります。これより、

W(t) = R(t)w(t)

となることが分かります。

すなわち、w(t) は剛体固定座標からみた角速度であることが分かります。

さて、上で得られた式より、

w(t) = I_obj^(-1)R^t(t)L(t)

となります。これより

W(t) = R(t)w(t) = R(t)I_obj^(-1)R^t(t)L(t)
= [R(t)I_obj R^t(t)]^(-1)L(t)

を得ます。これより質問者さんの角速度ベクトルは、空間固定座標からみた角速度ベクトルということになります。

お礼

お答えいただきありがとうございます。
無事に疑問が晴れました。

回答No.1

metzner

こんにちは。

>時刻tでの姿勢を θ(t)

とは、なんでしょう？

姿勢は回転行列R(t)で表されると思いますが。

補足

シミュレータの中ではクォータニオンで表現しているのですが、任意の回転軸を任意の角度回転させたものとお考え下さい。これを省いて、姿勢を最初から回転行列のみで考えてくださっても構いません。