力学問題（固有振動数の計算）

質問

[問題]
２７kg/cmとバネ定数　K２＝１８kg/cmの２つのスプリングがある。
４５ｋｇｆの重量がその上にあるとき、固有振動数を計算しなさい。

上記の問題について、計算してみましたが、固有振動数が小さい気がします。
バネ定数ｋ＝（Ｎ／ｍ）、質量ｍ＝（Ｗ／ｇ）と考えましたが、単位などが間違っているでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

K1= 27(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=2.65(N/m)
K2= 18(kgf/cm)*9.8(m/sec^2)*0.01=1.76(N/m)
W = 45(kgf)/ 9.8(m/sec^2)
= 4.6(Kg)

(1)この２つのスプリングを直列にしたとき
1/k= (1/k1)+ (1/ K2)= (1/2.65) + (1/1.76) =0.945
K=1/0.945= 1.06 (N/m)

f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π）*SQRT(1.06/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.23)
=(1/6.28)*0.48
=0.48/6.28
=0.076 (HZ)

２）この2つのスプリングを並列にしたとき
　　K=K1+K2= 2.65+1.76 = 4.41(N/m)

f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π）*SQRT(4.41/4.6)
=(1/6.28)*SQRT(0.959)
=(1/6.28)*0.979
=0.979/6.28
=0.156 (HZ)

よろしくおねがいします。

(2)この２つのスプリングを並列にしたとき

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

>質量ｍ＝４５ｋｇｆ/9.8=4.6kgでは？

　元々、１[kgf]（または　１[kgw]とか１[kg重]とも書きます）という力の単位は、地球上で、１[kg]の物体が受ける重力の強さを基準として力の大きさを表したものです。
　つまり、重力Ｗ[kgf]を受ける物体の質量は、Ｗ[kg]となります。
　kgf(またはkgw)単位を使う利点は、質量の値そのもので重力の大きさを示せる（数値変換をしなくて済む）ところにあります。
　ご質問の、４５[kgf]の重力を受ける物体の質量は、数値変換せずに、４５[kg]です。

　一方、ＳＩ単位系では、運動方程式（Ｆ=ｍａ）から力の単位（N（ニュートン))を決定しています。地球上で重力だけを受ける物体の加速度（重力加速度）は、物体によらずｇ＝9.8[m/(s^2)]となっているため、運動方程式に当てはめて、重力を表現すると
重力[N]＝質量[kg]×9.8
となりますから、Ｎ単位の重力値から質量を求めるには
質量＝重力[N]/9.8
としなければならないのです。

　たとえば、４４１[N]の重力を受けている物体の質量は
４４１/9.8＝４５[kg]
となります。

>１ｋｇｆ＝9.8Ｎなので、m=1kgという解釈ですね。

　お示しになっておられるように、１[kg]の物体に働く力を２つの単位で表してみると
kgfの単位　では、１[kgf]
SI単位系　では、９.８[N]
　ですから、力の単位換算をするときには
　[kgf]単位　→　[N]単位　では９.８倍
　[N]単位　→　[kgf]単位　では　１/９.８倍
することになります。

　振動数の計算については、結果は妥当な数値だと思います。
　強いていえば、与えられている数値が有効数値２桁なので、計算結果も最終的には有効数値２桁まで四捨五入しておくことをお勧めします。

お礼

大変ありがとうございました。
詳しく教えていただいて、非常に助かりました。
とても役に立ちました。
インドへ行っていて、お礼が遅くなりまして申し訳ございません。

回答No.1

Quarks

単位の換算を確認しましょう。

力の単位
１[kgf]=9.8[N]
です。
[kgf]単位　→　[N]単位　の変換に当たっては、[kgf]単位の数値を、9.8倍する。

ばね定数
27[kgf/cm]とは、１[cm]伸ばすときに、27[kgf]必要という意味ですが、ＳＩ単位系の言葉に翻訳すると
0.01[m]伸ばすときに、27・9.8[N]必要、となり
k1=27・9.8/0.01＝26460[N/m]
k2=18・9.8/0.01＝17640[N/m]

直列にしたときの、合成ばね定数ｋは
1/ｋ=(1/26460)＋(1/17640)　より
ｋ=…　[N/m]

並列に繋いだときの合成ばね定数ｋ'は
ｋ'＝k1+k2＝…[N/m]

質量
45[kgf]の重量　→　物体の質量ｍが45[kg]

バネの単振動では、周期Ｔは　Ｔ＝2π√(ｍ/ｋ)[s]　ですから、振動数ｆは
ｆ＝1/T＝(1/(2π))・√(k/m)[Hz]

直列にしたときは
f=(1/(2π))・√(…/45)＝…[Hz]

並列にしたときは
f=…[Hz]

お礼

ご教授ありがとうございました。
おかげさまで、バネ定数の単位の考え方がよくわかりました。

もうひとつ教えてください。
質量ｍ＝４５ｋｇｆ/9.8=4.6kgではないのですか？
再度、ご教授いただけますよう、よろしくお願いします。

補足

よくよく考えてみますと、
１ｋｇｆ＝9.8Ｎなので、m=1kgという解釈ですね。
間違っていますか？

したがいまして、再度計算してみました。
ご確認ください。

(1)この２つのスプリングを直列にしたとき
1/k= (1/k1)+ (1/ K2)= (1/26460) + (1/17640) =0.0000378+0.0000567=0.0000945
K=1/0.0000945= 10582(N/m)
f=(1/2π）* SQRT(K/m)
=(1/2π)*SQRT(10582/45）
=(1/6.28)*SQRT(235)
=(1/6.28)*15.33
=15.33/6.28
= 2.44 (HZ)

２）この2つのスプリングを並列にしたとき
　　K=K1+K2= 26460+17640 = 44100(N/m)
f=(1/2π）* SQRT(K/m)
= (1/2π）*SQRT(44100/45)
= (1/6.28)*SQRT(980)
= (1/6.28)*31.3
= 31.3/6.28
=4.98 (HZ)

よろしくご確認ください。