ばねに関する問題です．

質問

ばねについての問題です．

(1)図1のようにばねが二本直列になっている．ばね定数k1=5N/mmでk2=20N/mmとする．10kgの質量をぶら下げた時何mm下がるか答えよ．また固有角振動数を求めなさい．

(2)図２並列直列の三本のばねの組み合わせと等価なばねのばね定数kを求めよ．

詳しい解法をいただけると嬉しいです宜しくお願いします．

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

図には、力の矢印がたくさん有って、解読に手間取るでしょうが、この辺りをキッチリ押さえておくと、事態把握がすっきりします。

まずは左図の方からまいりましょうか（バネ自体の重さは無視できるものとして省いてあります）。

「力」は、（重力などをの特殊なものを除けば）ほとんどは２物体の接点で，こちらの物体からあちらの物体に働くものです。このことは、しっかり記憶にとどめて下さい。

F1とF2 のように、文章表現したときに主語と目的語とが逆になっている「２つ１組」の力は、作用・反作用の関係にある力で、同じ大きさで正反対向きです（正確には、更に、同一作用線上に有る、という特徴も持ちます）
F3,F4も作用反作用の関係にある２力
F5,F6も同様です。
大きさ関係だけを抽出してみると
Ｆ１＝Ｆ２
Ｆ３＝Ｆ４
Ｆ５＝Ｆ６
です。

さて、すべての物体は静止したままで動かないのですから、各物体について、力の釣り合いが成り立っています。
目的語が一致している力が（その目的語になっている物体に働いている力で、今はそれらが）釣り合っています。
物体：Ｗ，Ｆ２が釣り合います。　Ｗ＝Ｆ２　なお、W＝Mg　です。
バネ２：Ｆ１，Ｆ４が釣り合います。　Ｆ１＝Ｆ４
バネ１：Ｆ３，Ｆ６が釣り合い　Ｆ３＝Ｆ６

以上の等式を見較べてみると
Ｗ＝Ｆ２，Ｆ２＝Ｆ１，Ｆ１＝Ｆ４，Ｆ４＝Ｆ３，Ｆ３＝Ｆ６，Ｆ６＝Ｆ５　…
ですから
Ｗ＝Ｆ１＝Ｆ２＝Ｆ３＝Ｆ４＝Ｆ５＝Ｆ６
であることがわかるはずです。
ところで、バネに関するフックの法則という経験則があります。
「バネを力Ｆで引くとｘだけ伸びるとき、Ｆとｘは比例する」という法則で
Ｆ＝ｋ・ｘ
ｋはバネ定数
です。
ここで、正確に言うと、バネの両端を力Ｆで引いて、バネ自体を静止状態に保つとき、バネはｘだけ伸びていて
Ｆ＝ｋ・ｘ
という関係式が成り立つ、ということになります。フックの法則のＦは、バネの両端に働く力なのですよね。

バネ１について見ると、バネ１は両端からＦ６，Ｆ３（どちらもＷと同じ大きさです）で引かれています。その伸びをｘ１とすると
Ｗ＝k1・ｘ１
バネ２については
Ｗ＝k2・ｘ２
です。
ここで、２つのバネをブラックボックスに入れて中が見えないようにしてみましょう。重さWのオモリを吊り下げたらオモリはｘ１＋ｘ２だけ下がります。ブラックボックス内にバネ３（ばね定数k'とします）があると考えると
Ｗ＝ｋ'・（ｘ１＋ｘ２）
です。
1/k1=x1/W
1/k2=k2/W
1/K'＝(x1+x2)/W
が成り立ちますから
1/k'=(1/k1)+(1/k2)
という関係が導かれます。このｋ’は「合成バネ定数」とでも呼ぶべき値です。
一般に、バネ定数がk1,k2,k3,…のバネを直列に繋いだとき、全体のバネ定数k'は
1/k'=(1/k1)+(1/k2)+(1/k3)+…
です。

バネ振り子の周期Ｔは　T=2π√(k'/M)
（ここで Mはオモリの質量）
となることがわかっています。

続いて右図です。
３本のバネを繋ぎ位置に棒ABを置いてみたので、図がタイヘン錯綜しています。
Ａ，Ｂを一点にまとめてしまえばF6,F9,F8は省略できます。
でも、ここでは、ABの下の部分だけに着目すれば良いです。（バネを並列繋ぎした場合を考えます）
物体に直接繋がっている２つのバネ（バネ定数k1）は、協同して物体を持ち上げていますから、それぞれのバネが引く力は、１本で吊したときの半分の大きさになることは直ぐわかります。当然のように、伸びは　x1/2 です。
Ｗ＝ｋ1・ｘ１
Ｗ＝Ｋ'・(ｘ１/2)
ですから
Ｋ'=2・ｋ1
です。一般に、バネ定数がk1,k2,k3…を並列につなげたときの全体のバネ定数ｋ'は
k'=k1+k2+k3+…
となります。
図では、ｋ1=２・k1のバネとk2のバネが直列に繋がった状態と見なせますから、右図の全体のバネ定数ｋ"は
1/k"=1/k2+1/(2・k1)
となります。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます．
もう一度解いてみます．

回答No.1

FT56F001

バネ定数K1[N/m]のバネとバネ定数K2[N/m]のバネを直列につなぐと，
変位(バネの伸び)は和になり，バネにかかる力は同じです。
電気回路で言うと変位が電圧，力が電流と同じ性質を持ちます。
バネ定数は力÷変位ですからコンダクタンスと同じ性質と分かります。
すなわち，合成されたバネ定数Ks=K1*K2/(K1+K2)になることが分かります。

同様に，バネ定数K1[N/m]のバネとバネ定数K2[N/m]のバネを並列につなぐと，
変位(バネの伸び)は同じ，バネにかかる力は和になります。
やはり，変位が電圧，力が電流と同じ性質なので，並列コンダクタンスの合成と同じく，
合成されたバネ定数Kp=K1+K2になることが分かります。