バネ定数

質問

はじめまして。図がないので説明しにくいのですが
天井からバネ定数Ｋ１のバネがつるされ
バネの下端に質量Ｍの物体をくっつけます。
その物体の下方の左端、右端にバネ定数Ｋ２のバネをくっつけます。
そして、そのバネの下端を地面に固定します。

　　天井
-----------
　　バ
　　ネ
　　K1
　＿＿＿
｜　　　｜
　－－－
　バ　バ
　ネ　ネ
　K2 K2
-------------
　　地面
このような感じです・。わかりにくくてすみません。
これらの３つのバネ定数と等価のバネ定数Kzを求めたいのですが
自分なりの考えではバネ定数k2の２個による並列なつなぎであるので
K2+k2=2*k2。これとバネK1が直列なので
kz＝2*k1k2/(2*k2+k1)だと思ったのですが違うようです。
なぜでしょうか？？
よろしくお願いします。

回答No.3

htms42

３つのバネが初め自然長でセットされているとします。つりあった時の物体の位置は初めの位置からいくら下になっているでしょうか。

この物体の位置の変化をｘとします。
（上のバネはｘ伸びています。下のバネはｘ縮んでいます。）
つりあいの条件は
ｍｇ＝Ｋ１ｘ＋２Ｋ２ｘ

バネ１つでこの物体をぶら下げてつりあったとき物体の変位が同じであればそのバネは３つのバネを組み合わせたものと同じ働きをしていますので「等価なバネ」と言うことが出来ます。そのバネのバネ定数をＫとします。

つりあいの条件は
ｍｇ＝Ｋｘ

∴　Ｋ＝Ｋ１＋２Ｋ２

この問題では
物体の位置の変化＝上のバネの伸び＝下のバネの縮み

地面がなくて上のバネ、下のバネ、物体と繋がっている時
物体の位置の変化＝上のばねの伸び＋下のバネの伸び

つりあったときの物体の位置を具体的に追いかけてみるのがいいと思います。釣り合いでの力を考えることで自然と状況の違いが考慮されている事になります。公式に頼るとダメです。

回答No.2

sanori

こんにちは。

上方向を正とします。

Ｋ１の縮みをｘと置けば、Ｋ２の縮みもｘ。
（Ｋ１が縮むと物体Ｍに上方向の力が加わり、Ｋ２が縮むとＭに下方向の力が加わります。）

物体Ｍにかかるバネの力は、
・Ｋ１が伸びる（ｘ＜０）ことによってＭを上方向に引っ張る力　Ｋ１・（－ｘ）＝－Ｋ１・ｘ
・２つのＫ２が縮む（ｘ＜０）ことによってＭを上方向に押す力　２・Ｋ２・（－ｘ）＝－２・Ｋ２・ｘ
です。

合わせて
－Ｋ１・ｘ　－　２・Ｋ２・ｘ

よって、合成のバネ定数は、
（－Ｋ１・ｘ　－　２・Ｋ２・ｘ）／ｘ ・（－１）
　＝　Ｋ１ ＋ ２・Ｋ２
となります。

ここで、－１　を最後に掛け算した意味についてですが、
上記の計算では、バネの力の向きと、伸び縮みｘを、上の方向がプラスという基準に統一しており、
バネというものは、縮めれば伸びようとし、伸ばせば縮もうとするものなので、
必然的にｘとバネの力とが逆方向になります。
バネ定数は、正の定数（絶対値）で表すのが慣例ですので、－１をかけるということになります。

なお、
物体Ｍに重力がかかって、つりあいの位置が下にずれますが、
バネ定数の計算には影響を与えません。
（つりあいの位置をゼロ基準として、その前後に、バネの力＝バネ定数×伸び縮み　という比例関係があるため。）

＞＞＞
自分なりの考えではバネ定数k2の２個による並列なつなぎであるので
K2+k2=2*k2。これとバネK1が直列なので
kz＝2*k1k2/(2*k2+k1)だと思ったのですが違うようです。

物体Ｍを無くして、地面をおもりに取り替えれば、その式になります。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

egarashi

直列ってのは、同じ側に連結している時です。この時は逆数の和になります。しかし、図ではそうじゃないですよね。これはつりあいの位置から変位を与えた時にどんな力がかかるかを考えればわかります。
図の物体をxだけ上に持ち上げた時、バネK1が物体に及ぼす力は-k1x(上向き正)。2つのバネK2が物体に及ぼす力は-2k2x。その合力は、-(k1+2k2)x。つまりバネ定数k1+2k2のバネで繋いであるのと同じなのです。単純な和でいいのです。