ばねの問題
- 斜面に固定されたばねに物体Aと物体Bが乗っており、物体Bを自然長の位置から持ってきてから下向きに速度を加えた際のばねの縮み具合を求める問題です。
- 質量mの物体Aと物体Bが、斜面の下端に固定されたsとs´の位置に乗っています。物体Bを自然長の位置から持ってきて、斜面に沿って下向きに速度vを加えた際のばねの縮み具合を求める問題です。
- 問題の解答において、状態1のばねの長さはtとし、状態2のばねの長さはs´として考えます。解説の表記は異なりますが、質量mの物体Bが状態1のばねに乗っていない場合と考えることで、同じ結果を得ることができます。
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ばねの問題
θの角度のついた斜面の下端に固定された自然長s,ばね定数kのばねに質量mの物体Aをもう片方に固定し、その上に質量mの物体Bがのっております。(状態1) 斜面の下端からsのところにx座標の原点をとります。 (意味わかりましたか?) これを自然長の位置まで持ってきます。(状態2)斜面に沿って下向きに速度vを加えます。 それでばねが一番縮んだとき(状態3)のx座標を求めたいのですが、ばねのエネルギーがうまくあらわせません。 自分の考えたものでは2個くっついてるものと考えて状態1のばねの長さをtとおいて s-t=2mgsinθ/k 1/2・2mv^2 + 1/2・k(s-t)^2 = 1/2・kx^2 だと思ったのですが解説のほうには、状態1のBが乗ってない状態のばねの長さをs´とおいて s-s´=mgsinθ/k 1/2・2mv^2 + 1/2・k(s-s´)^2 = 1/2・{x+2(s-s´)}^2 となっています。 s-t(s-s´)の部分と1/2・k{x+2(s-s´)}^2の部分に?が。 おそらく大変な誤解をしているのかも? よろしくお願いします。
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x座標は斜面上向きが正でいいのでしょうか. 以下はそのつもりで読んで下さい. 式を見ると >これを自然長の位置まで持ってきます。(状態2)斜面に沿って下向きに速度vを加えます。 これが実は違っているのではないでしょうか. バネに物体Aが固定されているので,Bの荷重を取り除いてもx=-(s-s')までしかバネは上がりません. >状態1のBが乗ってない状態のばねの長さをs´とおいて これは多分そういう意味です. この状態で物体AとBに共に斜面下向きに速さv(速度vでもあとの議論には影響しません)を与えると,物体AおよびBが離れずに単振動するときの振動中心は,両者にかかる重力の分力がバネの弾性力と釣り合う条件より 2mgsinθ=kL から x=-L=[-(s-t)=-2(s-s')=]-2mgsinθ/k です. すると,この点x=-2(s-s')を中心に重力と弾性力の合力に関する位置エネルギーは変位 u=x+2(s-s') として (1/2)ku^2 と表せるので, 力学的エネルギーの保存則の式は (1/2)・2mv^2 + (1/2)・k(s-s´)^2 = (1/2)・k{x+2(s-s')}^2 で解答の通りです.[左辺はx=-(s-s')でのエネルギー]
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