剛体棒の振動

質問

均質な長さＬ、重さＭの剛体の棒に、端からｘのところに(0<x<2/L)
穴を空け、微細振動θをさせるとき。

(1)慣性モーメントの求め方

(2)微細振動の周期の求め方

を教えてください。
(1)は
短い方と長い方に分割して
I = M・(x/L)・(x/2)^2　+　M・((L-x)/L)・((L-x)/2)^2
の合計で良いでしょうか？

(2)は微細角度θを動かしたとき
(M・(x/L))・(x/2)g(1-cosθ)+((L-x)/2) + M・((L-x)/L)・((L-x)/2)^2
g(1-cosθ)
と
1/2I(dθ/dt)^2
が釣り合うことを考えれば良いのでしょうか？

穴の短端・長端の間の正負の取り方を含め、わからないことが多いです。
このような問題を見たことのある方、ご教授をお願いします。

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

問題の振子は固定軸の周りの回転運動となりますから、運動方程式はモーメントの釣り合いの方程式となります。
鉛直上方にy軸をとり、y軸と棒のなす角をθとおきます。剛体の棒の固定軸周りの慣性モーメントをI、角速度をω(=dθ/dt)、トルクをNとするとニュートンの運動方程式はI(dω/dt)=I(d/dt(dθ/dt))=Nとなります。方程式の左辺ですが、慣性モーメントIは平行軸の定理よりI＝Ig＋MR^2と書けます(#1のURL参照）。Igは重心周りの慣性モーメントでIg=(1/12)ML^2。Rは固定軸から重心までの距離で今の場合R=(L/2-x)となります。棒は重心点に鉛直下方にMgの力（力の方向はマイナス方向であることに注意）を受けています。従って棒の受けるトルクNはN=Rsinθ・(-Mg)となります。今θは微小とするとsinθ≒θとなりますので方程式はd^2θ/dt^2=-(MgR/I)θ=k^2θとなります。これはよく見る単振動の微分方程式ですね。後はご自分で是非フォローしてみてください。

お礼

解説をみてわかりました。

どうもありがとうございます。

回答No.1

connykelly

ご質問の問題は大抵の力学の教科書に載っていると思いますが、これはボルダの振り子と呼ばれています。少し自助努力が必要ですが(^^);;、下記サイトを参照してみてください。

(1)は↓http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft82039/teaching/doc/sbody1.pdf
(2)は↓
http://ks001.kj.utsunomiya-u.ac.jp/~buturi/UUinOnly/ksb_html/yukari4//node1101.html

お礼

単振り子の考え方を当てはめて、解決できるのでしょうか？