剛体振り子の問題

質問

剛体振り子の問題

下図に示す、1辺の長さa、質量Mの一様正方形板の1頂点を回転軸受で支持した剛体振子の固有角振動数は？
ただし、正方形板の振れ角θは小さく、sinθ≒θとみなすことができ、gを重力加速度の大きさとする。

答え：1/2√（（3√2g）／a）

どなたか解説お願いします。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

１）回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度＝力のモーメント。

２）慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
＝重心のまわりの慣性モーメント＋質量×（回転軸から重心までの距離の２乗）。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

３）角加速度は回転角の時間に関する２階導関数 (d/dt)^2θ です。

４）力のモーメント＝力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス／マイナスを考慮する必要があります。

５）以上より式を立て、sinθ≒θ という近似を使うと
(d/dt)^2θ = －{3(√2)/4}(g/a)θ
という式が得られます。右辺にはマイナス符号が必要です。微分方程式を解く必要がないのであれば、ここの {3(√2)/4}(g/a) が求める角振動数の２乗であるとして、答えを求めます。

６）微分方程式を解くのであれば、上の式よりθの一般解を求めます。解は三角関数で表わされます。そこから角振動数を求めます。（上の式の右辺にマイナス符号がないと、解は指数関数になってしまい、振動を表すものにはなりません。）

なお、角振動数の「角」と回転角の「角」は意味が違うので混同しないように注意しましょう。

お礼

ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです！

回答No.3

breakfaster

No.1です。
No.2さんが書かれているとおり
θ'' = -3√2 g/ (4a) θ
です。－が抜けていました。すいません。

角度の変化と逆方向へ回転させるモーメントがかかりますので－がつきます。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

breakfaster

まず軸受を中心にしたこの板の慣性モーメントIは、
面密度σ=M/a^2より
I = M/a^2 ∫∫(x^2+y^2)dx dy （積分の範囲は0～a)
　= M/a^2 * 2 * ∫∫(x^2)dx dy （積分の範囲は0～a)
　= M/a^2 * 2 * a * 1/3 a^3
　= 2/3 Ma^2

また重心にかかる力のモーメントは
N = Mg √2/2 a sinθ
θが十分小さいとして
N = Mg √2/2 aθ

よって回転の運動方程式　N = Iθ''('は時間微分）は、
Mg √2/2 aθ = 2/3 Ma^2 θ''
これより
θ'' = 3√2 g/ (4a) θ

よって
ω = √(3√2 g/ (4a)) = 1/2 √(3√2 g/a)
です。