単振り子の問題

質問

原点Ｏのまわりに自由に回転できる、長さｄのひもに質量ｍの質点と
見なせる小さい物体をつるした単振り子がある。
物体の位置Ｐは静止したつりあいの位置Ｒ0
（回転によってできる円の真下）からのひものなす角度θとし、
反時計回りを正とする。時刻ｔ=０で、つり合いの位置Ｒ0において
水平方向にエネルギーを与えて単振り子を振動させる。
この単振り子はどの位置においてもひもの長さはｄを保つ。
重力加速度をｇ、原点Ｏのまわりの慣性モーメントをＩとする。

(1)点Ｏのまわりんの慣性モーメントＩを求める。

(2)物体がつり合いの位置の真上Ｒaに達するためのエネルギーを求める。

(3)与えるエネルギーが十分小さいときの物体の位置および
角周波数ω0を求める。

(4)物体の運動を支配する運動方程式を求める。

(5)θとｄθ/ｄｔの関係を表すグラフの書き方。

(4)は、糸の方向に働いている糸の張力Tsと重力の糸の方向の成分
はつりあっているので
Ts=mgcosθ
がまず成り立ち、次に糸に垂直な方向では、重力の分力-mgsinθ=F
のために加速度a=-gsinθを生じますよね？
そして、弧ＰＲ0の長さをｘで表すと
ma=-mgsinθ
d^2x/dt^2 = a = -gsinθ
⇔x=gsinθ

・・・・
これからどうすればいいのか迷ってます。
助けてください。

回答No.2

queschan · ベストアンサー

＞x=gsinθとなって
＞sinθ ≒ θ
＞の近似を使い
＞x=gθ
少し違うようですよ。

＞d^2x/dt^2 = a = -gsinθ
までは合ってますから、xの時間での２階微分を x" とすると
　x" = -gsinθ
ですね。
あとは x = d*θ の関係式を使うと、
　x" = d*θ"
ですから、θのみのよく知られた形の微分方程式になります。

回答No.3

nikorin

θは時間の関数であることに気が付いておられますか？
それがわかれば、あとは雪崩のように解けると思いますよ。

回答No.1

queschan

θの単位は[rad]でしょうか？
それならば、
　x = d*θ
という式が成り立ち、微分方程式
　d^2x/dt^2 = a = -gsinθ
がθのみで書けます。

あとはこのままでは解析的に解けないので
　sinθ ≒ θ
の近似を使います。

補足

単位はおそらく[rad]でいいと思います。
ただ、角度θと書かれているだけなので。

>d^2x/dt^2 = a = -gsinθ
>がθのみで書けます。

x=gsinθとなって
sinθ ≒ θ
の近似を使い
x=gθ

ということですよね？
これからどうすればいいのでしょうか？