振り子の運動について

質問

図のような振り子の運動で、物体がある高さまで上がった時、糸がたるんだとします。
その時のθの値をθmaxとした時、そのθmaxを求める問題です。
（Lは糸の長さ、Ｔは糸の張力、V0は接線方向の初速度です）
自分で解いて見たのですが、自信がないので、答案が合っているかどうか見ていただけないでしょうか。

まず、運動方程式を立てると
θ方向：mLθ"=-mgsinθ
L方向:mV^2/L=T-mgcosθ
（Vは接線方向の速度）
となり、さらにエネルギー保存則により
1/2(mV^2)+mgL(1-cosθ)=1/2(mV0^2)

これをL方向の運動方程式に代入すると
cosθ=(2gL-V0^2)/3gL+T/3gm
ここで、糸がたるむということはT=0ということなので
cosθ=(2gL-V0^2)/3gL
よってθ=arccos(2gL-V0^2)/3gL

このような解き方で合っているでしょうか。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

合っています。
ただ一ヶ所
＞糸がたるむということはＴ＝０ということなので
Ｔ＝０ではたるみません。
物体の位置が支点の真上にあるときでもＴ＝０であれば円運動を継続できます。Ｔ＜０であれば支点の真上の円周上の位置を物体は通過できません。
「糸がたるむということはＴ＜０に対応しているのでＴ＝０のときの値を求めるとθmaxを求めることが出来る」
となります。
θmax＝arccos(2gL-V0^2)/3gL

θmax＝π/２の時を考えて見ます。
この点は支点と同じ高さです。この点まで上がってきて引き返す時Ｔ＝０になリます。糸はたるみません。
この時Ｖo＝√(２ｇＬ)です。

√(２ｇL)＜Ｖo＜√(５ｇL)であればどこかで糸がたるんでしまいます。円運動の最高点の角度は
θmax=arccos(2gL-V0^2)/3gL
です。この角度よりも大きい角度になれば糸はたるんでいます。
糸がたるんだ後の物体の運動は放物運動です。

Ｖo＝√(５ｇL)であれば支点の真上の点でＴ＝０です。糸はたるまずに円運動が続きます。

Ｖo＞√(５ｇＬ)
であれば常にＴ＞０で円運動が続いています。

解いてみたけれど正しいかどうか分からないというときはいくつかの角度でどういうことが起こっているかを調べて見るのがいいでしょう。

お礼

厳密にはT=0で糸がたるむわけではないのですね。
わかりやすく説明してくださってありがとうございました。

回答No.1

yokkun831

合っていると思います。

お礼

確認してくださってありがとうございました。