放物線上の運動

質問

放物線y=ーx^2+2ax(ただしa＞0)上の原点から接線方向(右上向き)に速度v0で質量mの小球を転がした時の運動について
(x,y)をtの関数で表すことって出来ますか？

どうしても微分方程式が解けなくて…

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんにちは。

z = x-aですから、
絶対値がついたままでないとまずいんでしょうね。

1+4z = 1 + 4(x-a)
の正負で、
根号内をわけて考える必要があるんでしょうね。

☆これでqは求まりましたが、q=p^2=(dz/dt)^2
となりまた非線形がでてきます…
◇(dz/dt)^2 = ホニャララ
dz/dt = ±√（ホニャララ）
でしょう。
ホニャララの部分にtが含まれていないので、
原理的には変数分離ができる。

ただ、問題は、
∫dz/√(ホニャララ)
が積分できるか、この積分を表わすことができるかどうかですね。
私には、こんな複雑な積分はできません（ポリポリ）。

それでもなお、この微分方程式を解こうとするならば、
1/√（ホニャララ）の部分を級数に展開して、その積分を求めるしか手はないんでしょうね、たぶん。

あるいは、単振り子の運動方程式
d^2θ/dt^2 = -(g/l)sinθ ≒ -(g/l)θ　　　for θ << 1
のようにして、近似解を求める。
運動方程式の最初の段階でね。
最初の段階で、何かの仮定を入れ、解ける形の微分方程式にしてしまう。

実は、力学的な微分方程式は、解くのが難しいんですよ。
簡単に見える運動であっても・・・。

にしても、なんでこんな複雑な問題を・・・。
　y = x^2
じゃダメなんですかね（ポリポリ）。

お礼

まず、微分方程式の変換を間違えてたので…すみません

確かに、この積分は解けなさそう、解けても複雑になりそうですね

簡単な運動でも微分方程式が簡単とは限らないんですね…

(y=x^2で無いのは、原点から運動した物体が頂点でちょうど止まることはない、ということをtの式で表したかったからです)

回答No.7

NemurinekoNya

付け足し。

数値計算をするならば、
ルンゲ・クッタがいいでしょうね。
精度いいですし。

回答No.6

NemurinekoNya

ddtddtddtさん、どうもです。

（３）式を時間tで微分すると、
NO１のお礼欄にある微分方程式から導いた
(1+4z)d^2z/dt^2 + 4z(dz/dt)^2 - 2gz = 0
と同じになるはず。
z=x-a
とおいて、平行移動させているので。

質問者さんが運動方程式の導出を間違えていなければですよ。
あるいは、私がどっかでポカをしていなければ。
───なにぶん、わたしは計算が苦手なもので（ポリポリ）───

とりあえず、質問者さんに（３）式をtで微分してもらいましょう。

と思ったのですが、これは直観的に同じにならない気が・・・。

～～～～～～～
md^2x/dt^2=-Nsinθ
m(-2(dx/dt)^2ー2(xーa)d^2x/dt^2)=Ncosθーmg
Nを消去すると

d^2x/dt^2=2(x-a)(g-2(dx/dt)^2ー2(xーa)d^2x/dt^2)
整理して
△(1+4(x-a))d^2x/dt^2+4(x-a)(dx/dt)^2ー2g(x-a)=0　　
～～～～～～～

おい、
質問者、
△のところ、
間違っていないか？

てっめぇ～、
△(1+4(x-a)^2)d^2x/dt^2+4(x-a)(dx/dt)^2ー2g(x-a)=0
だろうが！！　（笑い）。

だとすれば、
この微分方程式は
(1+4z^2)d^2z/dt^2 + 4z(dz/dt)^2 - 2gz = 0
となって、
（３）式をtで微分したものと同じになる気がするね～。
やってみんしゃい！！

お礼

ほんっっっっと申し訳ないです

(3)式をtで微分してみます
m((dx/dt)(d^2x/dt^2)-2xdx/dt(-2dx/dt-2xd^2x/dt^2)-2mgxdx/dt=0
mdx/dtでわると
(1+4x^2)d^2x/dt^2+4x(dx/dt)^2-2gx=0

確かに、同じ式がでました

はじめ微分方程式が違ってたということはそのあとも違うわけで…

同じように、dz/dt=p,p^2=qとおいて計算すると

dz/dt=±√((A/(1+4z^2)+g/2))
Aを代入し計算すると
dx/dt=±√(2(C/mーyg)/(1+4x^2))
となり(4)式と同じものがでてきます

回答No.5

noname#221368

すいません、#4です。図です・・・。

回答No.4

noname#221368

この話も、放物線への束縛運動かつ摩擦なしとさせて頂きます。これ以上の条件を付けられると、手に負えない・・・。

＞y＝x^2

　そうですね。座標を任意に平行移動しても、運動が変わる訳ないから、y＝－x^2という事で。答えが出た後で、平行移動し直す・・・という事で。（←出るのか？(^^；）)。

　もちろん運動方程式を立てても良いのですが、エネルギー保存則が成り立つなら（摩擦なし）、運動方程式の第1積分はエネルギー保存則になるとわかっていますので、エネルギー保存則を微分方程式とみなして出発してもOKです。

　添付図(1)の軌道条件からy方向の速度(2)を計算し、エネルギー保存則(3)に代入して整理すれば、(4)が得られます。ここでCは、初期位置と初期速度で定まる定数です。

　(4)の右辺を移項すれば、変数分離形の微分方程式になりますが、これって「#3さんのホニャララ」と本質的に同じものなんですよ、きっと・・・(^^；)。

　この辺りで岩波数学公式集でも開くのが頃合いかな？、と思って調べてみましたが、岩波数学公式集にも右辺の（逆数の）不定積分は載ってませんでした。もちろん可能かも知れません。

　二次式以下の√を一つだけ含む有理関数（分数）の不定積分を、置換積分により導く系統的方法は確かに存在します。なので例えば、最初に分母を置換し、その後で分子を置換・・・とかやれば、積分可能な形になるかも知れません。

　ただ言えるのは、形式解が見つかったとしても「複雑極まりないx(t)の式＝t＋A（積分乗数）」になるだろう、という事です。「x(t)＝tの式」に直す方が、大変かも知れないという事です。

　・・・であれば、数値計算じゃ駄目ですかね？(^^；)。いちおう性質は良さそうなので、中央差分法くらいで行けそうです。Excelで、すぐいけますよ(^^)。

お礼

なるほど、エネルギー保存則は運動方程式の積分の形なので微分方程式には違いないですね
y=-x^2 dy/dt=-2xdx/dt
を代入したら
(1+4x^2)(dx/dt)^2=2gx^2+2C/m

dx/dt=±√(2(C/m+gx^2)/(1+4x^2))

と簡単に(4)式がでてきますね((4)式は解けなさそうですが…)

数値計算ですか…
今、あまり余裕がないので余裕がある時やってみます

回答No.2

NemurinekoNya

dy/dt = (dy/dx)・(dx/dt)として解いたわけね。
そうだね、この方が面倒な計算をしなくてすむので、いいね。
ざっと見た感じ、微分方程式は正しそう。

z = x-a
とおいて、微分方程式を書き直したら、もう少しスッキリした形になると思うよ。
dz/dt = dx/dt
d^2z/dt^2 = d^2x/dt^2
だしね。

すると、微分方程式は
(1+4z)d^2z/dt^2 + 4z(dz/dt)^2 - 2gz = 0
ですか・・・。

p=dz/dtとおいて、
dz^2/dt^2 = dp/dt = dp/dz・dz/dt = pdp/dz
(1+4z)pdp/dz + 4zp^2 - 2gz = 0
さらに、q = p^2とおいて
dq/dz = 2pdp/dz
だから、
(1+4z)/2・dq/dz + 4zq - 2gz = 0
dq/dz + 8z/(1+4z)q - 4/(1+4z) = 0
これは線形なので、解けるはず。

まず、このqを解いてください。

お礼

dq/dz+8zq/(1+4z)-4gz/(1+4z)=0
dq/dz=-8z(q-g/2)/(1+4z)
q≠g/2とすると
∫dq/(q-g/2)=∫-8zdz/(1+4z)=∫(-2+2/(1+4z))dz
log|q-g/2|=log|1+4z|/2-2z+C
q-g/2=(±e^C)(√(|1+4z|)/(e^2z))
±e^C=Aとおくと、
q=(A√(|1+4z|)/(e^2z))+g/2
(A=0とするとq=g/2も含む)
(ざっとやりましたけど…√の中の絶対値って残っていいんですよね？)

これでqは求まりましたが、q=p^2=(dz/dt)^2
となりまた非線形がでてきます…

回答No.1

NemurinekoNya

☆(x,y)をtの関数で表すことって出来ますか？
◇出来る。
しかし、束縛運動なので、こんなんでも結構、難しい。面倒くさい。
　y = -x^2 + 2ax
　d^2s/dt^2 = -gsinθ
　tanθ = dy/dx = -2x+2a　　　（これからsinθはxの式で表わせる。1+tan^2θ=1/cos^2θとかあったはず）
　s = ∫√{1+(dy/dx)^2}dx
ここで、sは原点Oから点(x,y)までの距離

とかやって、
これを一生懸命に計算すると、
xについての微分方程式が出てくるはず。
少なくともxの微分方程式は出てくる。

☆どうしても微分方程式が解けなくて…
◇これは、微分方程式が求められてからの話。
まず、微分方程式を求める。
計算、ガンバレ！！

既に微分方程式を求めてあるのならば、
その微分方程式を示すのが筋じゃありませんか？

お礼

確かに、おっしゃる通りにといてたら示すのが筋ですね
独学なので不安だったからついでに微分方程式の前も聞こうとしたんですが丸投げはダメですね(^_^;)

というわけで線積分やらは知らないので、普通に運動方程式で…

→v=(dx/dt,ー2(xーa)dx/dt)
→α=(d^2x/dt^2,-2(dx/dt)^2ー2(xーa)d^2x/dt^2)
時刻tの時の接線の傾きをtanθとすると
tanθ=-2(xーa)

斜面方向に垂直な向きに垂直抗力N、鉛直下向きに重力が働いてるので運動方程式は
md^2x/dt^2=-Nsinθ
m(-2(dx/dt)^2ー2(xーa)d^2x/dt^2)=Ncosθーmg

Nを消去すると

d^2x/dt^2=2(x-a)(g-2(dx/dt)^2ー2(xーa)d^2x/dt^2)
整理して
(1+4(x-a))d^2x/dt^2+4(x-a)(dx/dt)^2ー2g(x-a)=0

となったんですが…