回転運動

質問

xy平面内で、原点を中心とする半径Rの円運動をしている質量mの質点を考えると、時刻tにおける位置ベクトルはr[→]=(Rcosφ(t),Rsinφ(t),0)
と書ける。

(1)速度v[→](t)と(原点まわりの)角運動量L[→](t)のx,y,z成分を求めよ。また、それぞれの大きさと向きを求めよ。

(2)円運動の接線方向(φの増加する方向)の加速度はa_φ=Rφ"なので、接線方向の力をF_φ(t)とすると、接線方向の運動方程式はF_φ(t)=mRφ"となる。この接線方向の力の大きさがF_0で一定の時、φ(t)とφ'(t)を求めよ。ただし、t=0の初期位相をφ_0、初期加速度をω_0とする。また、この結果を用いてL[→](t)の各成分を求めよ。

(3)この接線方向の力F_φ[→](t)のx,y,z成分をF_0やφ(t)を用いて書け。また、この力による(原点まわりの)トルクを求めよ。

(4)円運動を維持するために働いている向心力(たとえばひもの張力)の大きさF_r(t)を求めよ。また、この円運動の場合、角速度の変化や角運動量の変化を求めるとき、なぜ向心力を考えないで良いのか説明せよ。

です。よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver

(1)
r[→]=R(cosφ, sinφ, 0)とする。
v[→]=r[→]'=R(-sinφ, cosφ, 0)φ'・・・・(a)

v=|v[→]|=Rφ', v[→]の方向は接線方向。

L[→]=r[→]×mv[→]=mR^2φ'(cosφ, sinφ, 0)×(-sinφ, cosφ, 0)
=mR^2φ'(0,0,cos^2φ+sin^2φ)=mR^2φ'(0,0,1)・・・・(b)

L=|L[→]|=mR^2φ', 方向はz方向。

(2)
mRφ"=F_φ=F_0, φ'=(F_0/(mR))t+ω_0, φ=(F_0/(2mR))t^2+ω_0t+φ_0

(b)から
L[→]=mR^2{(F_0/(mR))t+ω_0}(0,0,1)

(3)
F_φ[→]=F_0(-sinφ, cosφ, 0)
N[→]=r[→]×F_φ[→]=RF_0(cosφ, sinφ, 0)×(-sinφ, cosφ, 0)==RF_0(0,0,1)

(4)
(a)から
a[→]=v[→]'=R{(-sinφ, cosφ, 0)φ'}'=R(-cosφ, -sinφ, 0)φ'^2
+R(-sinφ, cosφ, 0)φ''

これから、向心力はr方向だから、上式の第一項にmを掛けて、大きさをとれば
F_r=mRφ'^2。すなわち、向心力は角速度と関係する。

上式の第二項は接線方向だから、角速度の変化は接線方向の力のみに関係する。

運動方程式
mv[→]'=F[→]とr[→]の外積を取れば

L[→]'=r[→]×F[→]
となり、F[→]の成分のうち、向心力はr[→]と平行だから外積は０になる。

つまり、角運動量の変化は、接線方向の力のみ考えればよい。