- ベストアンサー
力学:角運動量の問題
物理の力学の問題です。テーマは角運動量です。 原点の周りを質量mの物体が運動している。質点には原点からの中心力f(r)rと、空気抵抗-kvが働いている。時刻t=0で質点は角運動量L0をもっていたとして、その後の時刻tにおける角運動量L(t)を求めよ。 注:rとvはベクトルである。ただし、f(r)のrはスカラー。 まず、運動方程式をどう立てればいいのかわかりません。 r方向とv方向に分解するのかしないのか・・・ それと、最後の答えでtが出てくる気がしない。 L=r×pのとき、mr''=Fから L'=r×Fは導けました。
- komajin8810
- お礼率19% (6/31)
- 物理学
- 回答数4
- ありがとう数0
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#2のものです。 ちょっと説明が足りませんでした。 空気抵抗を受けたとき、回転速度は上がる可能性はありますが、角運動量は確実に減少します。 空気抵抗からうけるトルクの向きが角運動量の向きと必ず逆向きになるからです。 回答に向けてのヒントを。 >L'=r×Fは導けました。 Fに実際の力を当てはめてみましょう。 F=f(|r|)r-kv=f(|r|)r-kr' これをL'の表式に代入します。 r×rは?、r×r'をLを使って表すと? これからLに関する微分方程式が得られます。
その他の回答 (3)
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
>L'=-k(r×r') >までは質問前にできていたんですよ。(あってるか確証がなかったけど。) >でも、これで止まってしまって。 r×r'=r×mr'/m=r×p/m=L/m です。 つまり、 L'=(-k/m)L となります。これはよくある微分方程式ですね。 >r×r'=1/2(r×r)'=0 えっ? (r×r)'=r'×r+r×r'=-r×r'+r×r'=0(≠2r×r') です。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
#1に対して。 そうとは限りません。 中心力のポテンシャルエネルギーの減少が空気抵抗による損失を上回る場合、むしろ運動エネルギーは増大します。この場合平均速度も速くなる。 万有引力ポテンシャルによる回転運動(たとえば人工衛星の動き)はまさにこれにあたります。(総エネルギーが"1"減少すると、ポテンシャルエネルギーが"2"減少し、運動エネルギーが"1"増加します。)
運動エネルギーを持つものにたいして空気抵抗が効いているので、全体としては回転速度が落ちる方向で動きます。 当然角運動量は時間がたつにつれ減少する方向ですね?
関連するQ&A
- 角運動量の問題について
現在、大学1年で基礎力学を履修しているものです。よろしくお願いします。 問題は、「質量mの質点が速度vで位置rを通過するとき、ある点(位置Rとする)のまわちの角運動量Lは{L=m(r-R)×v}である。したがって位置rが時刻tの関数として与えられるとき、角運動量は、{L=m(r-R)×v}の式を使って計算することができる。質量mの質点が図のような運動をしているとき、指定された点のまわりの角運動量を求めよ。((a),(b)の各場合において、ベクトルの外積を計算することによって角運動量を(Lx、Ly,Lz)の形で成分表示せよ。そのあと角運動量の大きさと向きを答えよ。ただし図において奥から手前の向きを+zの向きとする)」 (a)xy平面で原点を中心とする円運動{r=(acosωt,asinωt,0)}をしている質点において、原点のまわりの角運動量(m、a、ω、tのうち必要な文字を使ってあらわせ)ただしa、ωはともに正の定数。 (b) (a)と同じ運動をしている質点について、点A(-a,0,0)のまわりの角運動量(m、a、ω、tのうち必要な文字を使ってあらわせ) という問題です。(a)の外積は{r=(acosωt,asinωt,0)}を微分して、vを求めればわかるんですが、残りの角運動量の大きさと向きというのがわかりません
- 締切済み
- 物理学
- 角運動量
意味がまったく分からないので、説明していただけるとありがたいです。 1.質量m[1]とm[2]の質点が一定速度v[1],v[2]で運動していて、ある時刻において質点の位置はそれぞれr[1],r[2]であったとする。 (1)このときの原点周りの全角運動量ベクトルLを与えよ。 (2)(1)の結果が原点の位置には依存せず、その質点間の距離ベクトルだけに依存しているとすれば、その条件式を与えよ。 2.x-y平面状で質量mの質点が半径a、角速度ωで中心G周りの等速円運動をしている(左回り正)。 (1)中心G周りの角運動量ベクトルを与えよ。ただし、基本ベクトル(i,j,k)を使うこと。 (2)前問で中心Gが位置ベクトルrに固定されており、ある時刻においてこの粒子が円の中心からの一がae[r]であり、その動径方向との角度がφであったとき、原点(O)回りの角運動量の値(z方向を正)を与えよ。ただし、e[r]はGから質点への動径の単位ベクトルである。 (3)原点(O)回りの角運動量が最大になるときと最小になるときの位置とその値を与えよ。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 回転運動
xy平面内で、原点を中心とする半径Rの円運動をしている質量mの質点を考えると、時刻tにおける位置ベクトルはr[→]=(Rcosφ(t),Rsinφ(t),0) と書ける。 (1)速度v[→](t)と(原点まわりの)角運動量L[→](t)のx,y,z成分を求めよ。また、それぞれの大きさと向きを求めよ。 (2)円運動の接線方向(φの増加する方向)の加速度はa_φ=Rφ"なので、接線方向の力をF_φ(t)とすると、接線方向の運動方程式はF_φ(t)=mRφ"となる。この接線方向の力の大きさがF_0で一定の時、φ(t)とφ'(t)を求めよ。ただし、t=0の初期位相をφ_0、初期加速度をω_0とする。また、この結果を用いてL[→](t)の各成分を求めよ。 (3)この接線方向の力F_φ[→](t)のx,y,z成分をF_0やφ(t)を用いて書け。また、この力による(原点まわりの)トルクを求めよ。 (4)円運動を維持するために働いている向心力(たとえばひもの張力)の大きさF_r(t)を求めよ。また、この円運動の場合、角速度の変化や角運動量の変化を求めるとき、なぜ向心力を考えないで良いのか説明せよ。 です。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 解析力学の問題
解析力学の問題を解いていたのですが、やり方が全く分からなくて困っています。 解き方を教えてください(o>⊆<o) 平面上で中心力ポテンシャル V(r)=-k/r+h/(rの2乗) の中を動く質点(質量m)を考える。 (1)質点の軌道が歳差運動することを示せ。歳差運動とは、r=0の周りに回転する座標を考えると、ケプラー運動と同じになるということである。 (2)V(r)の第2項の効果が十分小さく、また全エネルギーが負のっきには、歳差運動の周期は(lの2乗)T/mhで与えられることを示せ。ここで、Tは楕円運動の周期、lは質点の角運動量である よろしくお願いします!!
- 締切済み
- 物理学
補足
実は、 L'=-k(r×r') までは質問前にできていたんですよ。(あってるか確証がなかったけど。) でも、これで止まってしまって。 r×r'=1/2(r×r)'=0 えっ? となってしまって意味が分からなくなってしまいました。 外積の微分はこうじゃだめでしたっけ?