角運動量

質問

位置ベクトルrの位置にいる質量mの質点に、中心力ポテンシャルV(r)=-k/r(k>0)より導かれる力F(r)がはたらいている。質点の運動量をp,角運動量をL,エネルギーをEとする。
このとき、pL=0　　　(p×L)r=|L|^2 r×L=(rp)r-(r^2)p となる。

なぜですか？　詳しい解説お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

(p×L)r=|L|^2 r×L=(rp)r-(r^2)p

おい、
|L|^2とr×Lの間に”,"を入れるなり、改行するなりしろよな～。

オレは、一つの式だと思ったじゃないか。
「変だ、変だ。どう考えても、こうはならない」と悩んだじゃないか。

これはだな～、
　r×L = r×(r×p) = (r・p)r - (r・r)p = (r・p)r - (r^2)p
　p×L = p×(r×p) = (p・p)r - (r・p)p
　(p×L)・r = (p・p)(r・r) = (r・p)(p・r) = |p|^2|r|^2 - (r・p)^2
= |r|^2|p|^2(1-cos^2(θ)) = |r|^2|p|^2sin^2(θ) = |rpsinθ|^2 = |L|^2
となる。
ベクトル三重積の公式を使った。
　a×(b×c) = (a・c)b - (a・b)c
なお、(a・b)はベクトルaとベクトルbの内積を表わす。

　p・L = p・(r×p) = 0

これでいいか？

どっか分からないところがあったら、遠慮せず、聞いてくんな。

それから、質問は、回答者にわかりやすいように書いてくれよ～。
質問者に余計な混乱を招くような質問は、止めてくんな。
まったく、も～！！

お礼

わかりにくい質問すみません。
なぜ、p・(r×p) = 0なんですか？
なぜ、|p|^2|r|^2 - (r・p)^2= |r|^2|p|^2(1-cos^2(θ))なんですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.4

NemurinekoNya

L = r×p
というベクトルLの大きさ|L| = |r||p|sinθ　　　　（0≦θ≦π/2）
というのは、
外積の定義ですよ。

何故ではなく、定義です。

http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Poplar/2391/denjiki/gaiseki.htm

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

NemurinekoNya

お礼、ありがとうございます。

☆なぜ、p・(r×p) = 0なんですか？
◇これはですね、
　r = (x, y, z)
　p = (p_x, p_y, p?z)
とすると、
p・(r×p)
=
|p_x p_y p_z|
|x　 y　　z |
|p_x p_y p_z|
という行列式でかけまして、１行目と３行目が同じなので、
行列式の性質から、ゼロになります。

成分で計算すると、
p・(r×p) = p_x(yp_z - zp_y) - p_y((xp_z - zp_x) + p_z(xPy - yp_x) = 0

☆なぜ、|p|^2|r|^2 - (r・p)^2= |r|^2|p|^2(1-cos^2(θ))なんですか？
◇これは、
　(r・p) = |r||p|cosθ
θは、rベクトルとpベクトルのなす角度。
内積の定義です。

お礼

|rpsinθ|^2 = |L|^2となる。
なぜですか？

回答No.1

NemurinekoNya

どれが、スカラーかベクトルか分からないよ～。

pL = 0
はなんだろうか？
運動量をp↑、角運動量をL↑とすると、
p↑とL↑の内積を表わしているのだろうか。
だったら、
p↑・L↑ = 0
とか書こうよ。
あるいは、せめて、p・Lと書こうよ。

矢印を書くのが嫌ならば、書かなくてもいいけれど、
だったら、位置ベクトルrの大きさは|r|と書こうよ。

それでだよ、
　(p×L)r
は何を意味しているの？
このrはベクトルか、それとも、位置ベクトルrの大きさ、つまり、|r|をあらわしているの？

こんなのばかりだから、答えたくても、答えようがない。