角運動量

質問

意味がまったく分からないので、説明していただけるとありがたいです。

１．質量m[1]とm[2]の質点が一定速度v[1],v[2]で運動していて、ある時刻において質点の位置はそれぞれr[1],r[2]であったとする。
(1)このときの原点周りの全角運動量ベクトルLを与えよ。
(2)(1)の結果が原点の位置には依存せず、その質点間の距離ベクトルだけに依存しているとすれば、その条件式を与えよ。

２．x-y平面状で質量mの質点が半径a、角速度ωで中心G周りの等速円運動をしている(左回り正)。
(1)中心G周りの角運動量ベクトルを与えよ。ただし、基本ベクトル(i,j,k)を使うこと。
(2)前問で中心Gが位置ベクトルrに固定されており、ある時刻においてこの粒子が円の中心からの一がae[r]であり、その動径方向との角度がφであったとき、原点(O)回りの角運動量の値(z方向を正)を与えよ。ただし、e[r]はGから質点への動径の単位ベクトルである。
(3)原点(O)回りの角運動量が最大になるときと最小になるときの位置とその値を与えよ。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

見難くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため、距離ベクトルを#r、速度ベクトルを#v、スカラー積を*、ベクトル外積を×で表します。
１．(1)#L=#r1×(m1*#v1)+#r2×(m2*#v2)
(2)質点1周りの質点2の角運動量は、(#r2-#r1)×(m2*#v2)
質点2周りの質点1の角運動量は、(#r1-#r2)×(m1*#v1)
全角運動量は、#r1×(m1*#v1)+#r2×(m2*#v2)-(#r1×(m2*#v2)+#r2×(m1*#v1))
よって条件は、#r1×(m2*#v2)+#r2×(m1*#v1)=0 となります。

２．(1)角運動量ベクトルは#a×(m*a*#ω)であり、その大きさはm*a^2*ω
径の外向き方向ベクトルに対して質点が左回りベクトルで運動しているため、右ネジを回すと親指が上を向くため、(0, 0, m*a^2*ω)と表せます。

(2)原点周りの角運動量ベクトルは(#r+a*#e[r])×(m*a*#ω)であり、その大きさ(値)は(r+a*cosφ)*(m*a*ω)となります。
(3)φ=0[rad]で最大となり、その値は(r+a)*(m*a*ω)です。(角運動量ベクトルは上向きです)
φ=π[rad]で最小となり、その値は(r-a)*(m*a*ω)です。(角運動量ベクトルは下向きです)

いかがでしょうか？　ただし私も１．の(2)は、なかなか意味を捉えるのが難しいです。