等速円運動の問題です。

質問

以下の問題を解いてみたのですが、分からない点があります。詳しい方ご教授をお願いいたします。

質量mの質点がxy平面内で半時計方向に半径rの等速円運動をしている。質点に働いている力は原点Oからの距離の２乗に逆比例する引力でその大きさはCを正の定数としてC/r2と表すことができる。

問１　質点の位置ベクトルrとして運動方程式を記せ。
（答）m・d2r/dt2=-C/r2

問２　角運動量ｌベクトルの時間微分を計算し、原点Oに対する質点の角運動量が保存されることを示せ。
（答）l=ｒ×m・dr/dt 、 dl/dt= dｒ/dt×m・dｒ/dt+ｒ×m・d2ｒ/dt2=ｒ×m・d2ｒ/dt2=ｒ×(-C/r2)・・・保存されない？？

問3　質点の速さ、角速度の大きさ、角運動量の大きさを求めよ。
（答）もし角速度ωが与えられていれればrωとも考えたのですが、問１を積分してdr/dtを求めるのでしょうか？

問4　運動の様子を簡単に図示し、質点の速度、質点に働く引力ならびに角運動量についてそれぞれの方向を書け。
（答）速度の向き：接線方向、引力：原点0の方向、角運動量：z軸正方向

問５　質点の位置エネルギーと力学的エネルギーそれぞれをC、rを用いて表せ。ただし位置エネルギーはr→∞のときに0となるようにする。
（答）分かりませんでした。。

回答No.4

rnakamra

#3の補足への回答

>問4
>dL/dt= dR/dt×m・dR/dt+R×m・d^2R/dt^2=R×m・d^2R/dt^2=R×(-C/r^2・R/r)=0
>この式から速度の方向の証明の方針が立てれませんでした。

それは無理です。
その式をいくらいじってもRとdR/dtが直交することを導くことはできません。
実際、万有引力だけで動く天体の運動もdL/dt=0となりますが、RとdR/dtは直交しません。つまり、RとdR/dtが直交することはdL/dt=0とは無関係なのです。

>F(R)=-C/r^2・R/r=-C/r^3・R
位置エネルギーＵ=-∫[∞→r]F(R)・dR
=-∫[∞→r](-C/r^3)R・dR
=C/r^3∫[∞→r]R・dR
=C/r^3∫[∞→r]rdr
=C/r^3・1/2r^2
=1/2・c/r

C/r^3が積分の外に出ていますがこれはできません。
r=|R|,つまりrはRに従属する変数なのです。よって積分計算の際にはrを外に出せません。
-∫[∞→r](-C/r^3)R・dR=C∫[∞→r](1/r^3)rdr=C∫[∞→r](1/r^2)dr=-C/r
となります。

補足

ご教授いただきありがとうございます。
位置エネルギーの求め方が大変良くわかりました。

また、dL/dt=0とRとdR/dtが直交であるは無関係とのことでした。
すみません、、問２の式を利用した、RとdR/dtの直交の証明はどのように考えればよいでしょうか。
勉強のためにも是非考えてみたいのですが、方針が分かりませんでした。。

問５
位置エネルギー=-∫[∞→r](-C/r^3)R・dR=C∫[∞→r](1/r^3)rdr=C∫[∞→r](1/r^2)dr=-C/r
運動エネルギー=1/2mv^2=1/2mr^2ω^2=1/2mr^2・C/mr^3=1/2・C/r
力学的エネルギー=-C/r+1/2・C/r=-1/2・C/r

保存力である証明は、働いている力-C/r^2（r^2=x^2+y^2）だからrotF=0として良いのでしょうか。
力学の本に少し書いてあったのですが計算過程がわかりませんでした。
ここから解析力学を勉強しないといけないです。

回答No.3

rnakamra

#1,2のものです。

#2の補足に対する回答

問3はこれでOK.

問4の前半はダメ。
>∴R×d^2R/dt^2=0
>∴R×dR/dt=0
>∴速度はRと直角の方向（接線の方向）
1番目の式から2番目の式は出てきません。
さらに2番目の式から最後の結論も出てきません。RとdR/dtが直角ならこの二つの外積は0ベクトルとはならないはずです。直角な場合"0"になるのは内積です。

問5はベクトルの積分ができていません。
>位置エネルギーＵ=-∫[0→r]F(R)・dR
>=-∫[0→r]{-C/r^2・R/r}dR
>=C/r^3∫[0→r]{R}dR
>=1/2C/r

まず、一番致命的なのは積分の範囲。基準点から求める点、となるのです。基準点(U=0の点)は無限遠点ですから0→rではなく、∞→rでなければならない。
一番上の式の"・"は内積を表す記号です。ですので2段目のような場所に来ることはありません。二つのベクトルの間、つまり"}"の直後にないとおかしい。
さて、ベクトルでの積分、これは直接の計算はできません。
動径方向の直線上でR・dR=rdrとなります。

補足

ご教授ありがとうございます。基本的な事柄が理解できておらず、
ご指摘大変お恥ずかしい限りです。
すみません、今回は限界で考え方を教えて頂けますでしょうか。

問4
dL/dt= dR/dt×m・dR/dt+R×m・d^2R/dt^2=R×m・d^2R/dt^2=R×(-C/r^2・R/r)=0
この式から速度の方向の証明の方針が立てれませんでした。

dL/dt＝0から角運動量が一定である、もしくは力のモーメントＮ=dL/dt＝R×F=0から
力の方向が位置ベクトルの方向と平行である、ことしか分かりませんでした。。
考え方を教えて頂けますでしょうか。

問5
F(R)=-C/r^2・R/r=-C/r^3・R
位置エネルギーＵ=-∫[∞→r]F(R)・dR
=-∫[∞→r](-C/r^3)R・dR
=C/r^3∫[∞→r]R・dR
=C/r^3∫[∞→r]rdr
=C/r^3・1/2r^2
=1/2・c/r

力学の本を読んでいくと、このモデルはボーア半径のことで
位置エネルギーは-c/rとなりそうです。
またどこかで間違えていると思います。。。
計算でおかしな点がありますでしょうか。
運動エネルギーは良いと思うのですが。

運動エネルギー=1/2mv^2=1/2mr^2ω^2=1/2mr^2・C/mr^3=1/2・C/r

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

#の補足についてはOKです。
では問3から先を。

>問3　質点の速さ、角速度の大きさ、角運動量の大きさを求めよ。
>（答）もし角速度ωが与えられていれればrωとも考えたのですが、問１を積分してdr/dtを求めるのでしょうか？

ωをr,Cを用いてあらわせばよいのです。
R(t)=(rcosωt,rsinωt)
となります。(t=0のときR(0)=(r,0)としています)
この式を問1で求めた式に代入するとωがr,Cの式として得られます。

>問4　運動の様子を簡単に図示し、質点の速度、質点に働く引力ならびに角運動量についてそれぞれの方向を書け。
>（答）速度の向き：接線方向、引力：原点0の方向、角運動量：z軸正方向

答えはこれでよいのですが、速度についてはなぜそうなるのかを示しておく必要があるでしょう。
問2の式からでも証明はできますが、次のような方法でも示せます。

r^2の時間微分は"0"です。(rは時間によらない定数)
r^2=R・R
ですので
0=dr^2/dt=(d/dt)(R・R)=2R・dR/dt
これから速度dR/dtはRと垂直な向きであることがわかります。

>問５　質点の位置エネルギーと力学的エネルギーそれぞれをC、rを用いて表せ。ただし位置エネルギーはr→∞のときに0となるようにする。

位置エネルギー=-∫[基準点→求める位置]F(R)・dR
です。
経路は自由に取れますので(この力が保存力だから.この証明が必要であればR≠0でrotF=0を示せばよい)、わかりやすい経路として動径方向に一直線な経路を考えればよいでしょう。するとこの積分はrについての簡単な積分となります。

力学的エネルギーは位置エネルギーと運動エネルギーの和、これは簡単ですね。

補足

ご教授ありがとうございます。大変勉強になります。
以下、解いてみました。ご指導のほど、よろしくお願いいたします。

問3　質点の速さ、角速度の大きさ、角運動量の大きさ
R(t)=(rcosωt,rsinωt)(t=0のときR(0)=(r,0))
dR/dt＝（-ωrsinωt,ωrcosωt）
d^2R/dt^2＝（-ω^2rcosωt,-ω^2rsinωt）=-ω^2・R(t)

m・d^2R/dt^2=-C/r^2・R/rへ代入
-mω^2・R(t)=-C/r^2・R(t)/r
mω^2=C/r^3
ω^2=C/mr^3
∴|ω|={C/mr^3}^1/2（角速度の大きさ）

よって速さの大きさは、|v|=r|ω|=r{C/mr^3}^1/2
角運動量の大きさは、|l|=mr^2|ω|=mr^2{C/mr^3}^1/2　　

問4　速度の方向の証明は問２の式を使う場合は以下で宜しいでしょうか。　
問2にて、dL/dt= dR/dt×m・dR/dt+R×m・d^2R/dt^2=R×m・d^2R/dt^2=R×(-C/r^2・R/r)=0より
R×m・d^2R/dt^2=0
∴R×d^2R/dt^2=0
∴R×dR/dt=0
∴速度はRと直角の方向（接線の方向）

若しくは速度と位置ベクトルの内積を直接計算しました。
V・R=（-ωrsinωt,ωrcosωt)・(rcosωt,rsinωt)=-ωr^2sinωt・cosωt+ωr^2sinωt・cosωt=0

問5
位置エネルギーＵ=-∫[0→r]F(R)・dR
=-∫[0→r]{-C/r^2・R/r}dR
=C/r^3∫[0→r]{R}dR
=1/2C/r

運動エネルギー=1/2mv^2=1/2mr^2ω^2=1/2mr^2C/mr^3=1/2Cr

∴力学的エネルギー=位置エネルギー+運動エネルギー＝1/2C/r+1/2C/r=C/r

保存力であることを示せば良いと教えて頂きましたが、大変恐縮ですが実際のrotFの計算はどのように
すれば良いでしょうか。
今回はx方向、y方向ともに同じ大きさの力がかかるため保存力になると考えましたが、実際の計算方法
が調べてみてなかなか分かりません。

回答No.1

rnakamra

>問１　質点の位置ベクトルrとして運動方程式を記せ。
>（答）m・d2r/dt2=-C/r2

ここからして違う。
左辺はベクトルであるのに対して右辺はスカラー、これでは式が成り立たない。

と、いうよりも質問で"r"をベクトル、スカラーの両方で使用していることが大問題。
多分問題ではベクトルのrが太文字にでもなっていたのでしょう。ここに書く場合はご注意ください。

ここではスカラーをr,ベクトルをRとします。(つまりr=|R|です。)
運動方程式はベクトルの式であるので明らかに右辺が間違っていると言うことです。
右辺の大きさはあっていますので、これに力の向きの単位ベクトルをかければよいでしょう。

>問２　角運動量ｌベクトルの時間微分を計算し、原点Oに対する質点の角運動量が保存されることを示せ。
>（答）l=ｒ×m・dr/dt 、 dl/dt= dｒ/dt×m・dｒ/dt+ｒ×m・d2ｒ/dt2=ｒ×m・d2ｒ/dt2=ｒ×(-C/r2)・・・保存されない？？

考え方はOK.
問1の答えに正しいものを入れて計算しましょう。
計算の際
dr/dt=0 (等速"円"運動である以上rは一定です。円周上だから)
ですが
dR/dtはゼロベクトルとはなりません。ご注意ください。

とりあえずはここまでお答えします。

補足

ご教授ありがとうございます。
質点の位置ベクトルはR、スカラーはrで表記します。角運動量もベクトルはLとします。
問１では単位ベクトルとして右辺にR/rをかけました。問１，２は以下で良いでしょうか？

問１（答）m・d2R/dt2=-C/r2・R/r

問２（答）L=R×m・dR/dt
dL/dt= dR/dt×m・dR/dt+R×m・d2R/dt2=R×m・d2R/dt2=R×(-C/r2・R/r)=0
（∵平行なベクトルの外積は０）よって角運動量保存則が成り立つ。