万有引力による回転運動

質問

この問題についての疑問をどなたかご教授ください。

長さ2lの水平な某とその両端につけた質量mの質点A、Bから構成される重りを考える。棒の中心が天井からワイヤーで吊るされており、Oを原点とし、水平方向にx軸、y軸をとる。棒の変形と質量は無視で、重りは水平面内でOを中心に回転できるとする。重りが角度θ回転した時にワイヤーのねじれによるモーメント（トルク）-kθ(k>0)が働くとする。以下の問いに答えよ。

図に示すように質量Mの質点C、Dが、x軸上に原点から距離L(L>l)の位置に置かれてある。重りには万有引力とワイヤーのねじれによるモーメントが働く。質点AとCとの、BとDの間の引力に比べて質点AとDの間、質点BとCの間の引力、ワイヤーのねじれによる力が小さいとして無視し、重りの回転運動に関する運動方程式と周期を導け。ただしθは微小角度であり、θの２次以上の項は無視せよ。

(疑問）
万有引力によるモーメントを求めるということなので，各質点同士に働く万有引力のy方向成分を算出するしてlとの外積をとると思うのですが，y方向成分を算出するための角度がどうしても求められません。どのようにしてその角度を求めるのでしょうか？もしくは，他に方法があるのでしょうか？

回答No.3

ninoue · ベストアンサー

0CA間の角をα、AC間の距離をrとします。
角θが微小と仮定しているのでαも微小として良い筈です。
そうするとrも一定と仮定しても差し支えありません。
r=L-l;

AからOCに下した垂線では次の式が成立しています。
lsinθ=rsinα

これからAC間の引力(一定値):Fのy軸方向成分:Fsinαは求められる筈です。
ABにCDから働く引力等はこの2倍として求められます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>AからOCに下した垂線では次の式が成立しています。
lsinθ=rsinα

これからAC間の引力(一定値):Fのy軸方向成分:Fsinαは求められる筈です。

そうか、そうでした。この関係をすっかり考えていませんでした。
これで問題は解決しそうです。
ありがとうございました！

回答No.2

noname#154783

ANo.1です．

タイプミスしました．

(誤)
> CからAに働く万有引力によるトルク
> N = r×F = F = -G M m r×CA/|CA|^3

(正)
> CからAに働く万有引力によるトルク
> N = r×F = -G M m r×CA/|CA|^3

コピペして消し忘れました．すみません．

お礼

補足訂正ありがとうございます。
了解しました。

回答No.1

noname#154783

r = OA = (l cos θ, l sin θ, 0)

AC = OC - OA = OC - r = (L - l cos θ, -l sin θ, 0)

万有引力
F = -G M m CA/|CA|^3

CからAに働く万有引力によるトルク
N = r×F = F = -G M m r×CA/|CA|^3

r×CA
= r×(OA - OC)
= -r×OC = e l L sin θ

# eはz軸正の向きの単位ベクトル．

∴N = -e(G M m/|AC|^3) l L sin θ.

あとは|AC|^3を成分計算するだけ．

DからBに働く万有引力によるトルクも同様．

お礼

ご回答ありがとうございます。
てっきり点Aから線Lに対しての垂線と点ACを結ぶ線のなす角度を求めるものだと思っていましたが、単純に外積を取ればいい話といことですね。
ありがとうございました！