運動の問題です。

質問

質量mの質点がX軸上を速度の２乗に比例する摩擦力－γ（dx/dt）^2を受けて運動している時、次の問題に答えなさいという問で
（1）質点のX軸方向の運動方程式をｖ（=dx/dt）を用いて表しなさい。ただしv＞0とする。
（2）ｔ=0の時の質点の速度をdx/dt=v0＞0として、時刻ｔにおける速度ｖを求めなさい。
（3）t=0の時の質点の位置をX＝0として、時刻tにおける位置ｘを求めなさい。
っていう問題なんですけど。自分で(2)までは解いて(2)の答えはv=v0^2e^-2ktvになったんですが本当に自信がありません。又（3）は部分積分法を用いるのでしょうか？

回答No.1

ekitaigenzou

懐かしいです．こういう問題は．
自信はありませんが，間違ってたらどなたかフォローしてください．

ところで，(log x)' = 1/x でしたっけ？

私の習った記号で書かせてもらいます．

f = m * a
f:力　a: 加速度 m : 質量
a = d2x/dt2
v = dx/dt

f = -k(dx/dt)^2 ですね．

(1) 運動方程式
　f = m * a

-k(dx/dt)^2 = m d2x/dt2　　運動方程式　...(A)

ところで， d2x/dt2 = d(dx/dt)/dt です．

　　この式は，
　　　-k(v^2) = m (dv/dt)ともかけます． ...(B)

(2) v　の計算．
　式(B)より，
　　　-1/(v^2)(dv/dt) = k/m
v>0 なのでわり算してもいいですね．
　　両辺をtで積分します．

　　∫　-1/(v^2)(dv/dt) dt = ∫k/m dt
(1/v) = (k/m)*t + c1 c1:積分定数
　　　　t=0 v=v0 より， c1 = 1/v0
v = 1/((k/m)*t+1/v0)

v = v0/((k/m)*v0*t +1) 時刻tでの速度v ...(C)

(3) x の計算

　　(C)より
　　　　v = dx/dt = v0/((k/m)*v0*t +1)
積分します．
　　　　x = (m/k)*log((k/m)*v0*t+1)　+ c2
t=0,x=0より c2 = 0

　　　　x = (m/k)*log((k/m)*v0*t+1)

省略しましたが，d(log u)/du = 1/u

怪しくなってきました．
この辺で．