微分方程式の問題

質問

次の問題がよく分かりません。本には答えだけが書かれていて、どうやって解いたのか分からないんです。解説を詳しく書いてくださると助かります。よろしくお願いします。
x軸上を運動する質量ｍの質点Ｐがある。時刻ｔにおけるＰのｘ座標をｘとするとき、微分方程式m(d^2t/dt^2)=-kxが成り立つという。ただし、ｋは正の定数とする。t=0のとき、x=0、dx/dt=v0(定数)として、ｘをｔの式で表せ。
答え・・・x={√(m/k)}v0sin({√(k/m)}t)

回答No.2

debut · ベストアンサー

参考URLをご覧ください。

m(d^2x/dt^2)=-kx ですかね。
特性方程式　mλ^2+k=0の解はλ=±√(k/m)*iだから
一般解はｘ＝c1cos(√(k/m)t)+c2sin(√(k/m)t)。（c1,c2は定数)
t=0でx=0から、c1=0。
ｘ＝c2sin(√(k/m)t)をｔで微分すると
dx/dt=c2*√(k/m)cos(√(k/m)t)　となり、
t=0のとき　dx/dt=c2*√(k/m)=v0　より、c2={√(m/k)}v0
∴ｘ＝{√(m/k)}v0sin({√(k/m)}t)

参考URL：

http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node19.html

回答No.1

pascal3141

これは一番基本的な単振動の微分方程式です。力Ｆ=ma=-kx (
ただしaは加速度）なので、原点x=0より離れると、逆方向の-kxの力が働き原点に引き戻されます。よって、原点を中心とした単振動が出てきます。解き方は、どの本にも出ていますので探すのが勉強になります。
m(d^2t/dt^2)=-kxは、m(d^2x/dt^2)=-kxの間違いです。すると
d^2x/dt^2=-(k/m)x
ここでx=Ａsin(wt)と置くと
（左辺）=d^2x/dt^2=-w^2*Asin(wt)=-w^2*x
よって
-w^2*x=-(k/m)*x
w={√(k/m)}となり
x=Asin({√(k/m)}t)
これに、初期条件を入れて係数を決めましょう。