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運動方程式から導く解法を知りたいです。

ばね定数kの鉛直なばねに質量mのおもりをつけ、自然長の位置で初速Vを与えた。 ばねの最大の伸びLはいくらになるか。 <自分の答え> mx"=mg-kx mx"x'=(mg-kx)x' t/dt(1/2mx')=t/dt{(mg-kx)x} t/dt[(1/2mx')-(mg-kx)x]=0 E=1/2mx'-mgx+kx^2 これに以下を代入してLをもとめる。 (x'=v x=0) (x'=0 x=L) これでは答えが合いません。 どこがおかしいのでしょうか。 よろしくお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1

>mx"x'=(mg-kx)x' この式から >t/dt(1/2mx')=t/dt{(mg-kx)x} の変形が間違っている。 多分t/dtはd/dtのうち間違いだろうが、実際に微分してみると違うことがわかるだろう。 変形をしてみましょう。 d/dt{(1/2)m(x')^2}=(mg-kx)x' 両辺をtで積分して (1/2)m(x')^2=∫(mg-kx)x'dt=∫(mg-kx)dx=mgx-(1/2)kx^2+E 力学的エネルギー保存の式が得られました。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 求めていた回答内容でした。 ベストアンサーに選ばせていただきます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • SKJAXN
  • ベストアンサー率72% (52/72)

両辺をmで除して整理すると、x"=-(k/m)(x-(m/k)g) ここでx-(m/k)g=X、k/m=Aとして整理すると、X"+AX=0 ⇔X'X"+AXX'=0 ⇔(d/dt)((1/2)((X')^2+AX^2)) ⇔(1/2)((X')^2+AX^2)=C [Cは積分定数] X'=v、X=0[x=(m/k)g]を代入すると、C=(1/2)v^2 よって、X'=0、X=L[x=(m/k)g+L]のとき、(1/2)AL^2=(1/2)v^2 ⇔L=v/√A=v√(m/k) ただ、自然長の捉え方が曖昧で、おもりを吊るした時の自然長なのか、おもりを吊るさない時の自然長なのかで回答が異なります。後者の場合、(m/k)g+v√(m/k)となります。いかがですか?

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質問者からのお礼

なるほど。 後者の場合が回答2の方と同じ内容になるのですね。 参考になりました。 ありがとうございました。

  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 下方向を正とします。 釣り合いの位置を xo とし、そこからの伸びを x とします。 方程式を立てると m・d^2x/dt^2 = -k(xo+x) + mg m・d^2x/dt^2 = -kx + (mg - kxo) ところが、つり合いの状態を考えると、mg-kxo=0 なので、 m・d^2x/dt^2 = -kx 視察により xは、x=ae^(ωt+φ) の形となるので、 mω^2ae^(ωt+φ) = -kae^(ωt+φ) m・ω^2 = -k ω = ±i・√(k/m) よって解は、 x = ae^(i√(k/m)・t+φ) の形の一次結合となるが、t=0、x=0 で初速を与える単振動ならば(オイラーの公式により) 振幅をAとして x = Asin(√(k/m)・t) の形に表せる。 1回微分すると dx/dt = A√(k/m)cos(√(k/m)・t) であるが、t=0 で dx/dt=V であるから、 V = A√(k/m)cos0 つまり、 A = V/√(k/m) よって、 x = V/√(k/m)・sin(√(k/m)・t) 伸びは、 xo + x = xo + V/√(k/m)・sin(√(k/m)・t) ところが、mg-kxo=0 より xo=mg/k なので、 伸び = mg/k + V/√(k/m)・sin(√(k/m)・t) 最大の伸びは、sin の値が 1 のときなので、 L = mg/k + V/√(k/m) 合ってますか? (点検してください。)

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質問者からのお礼

思っていたより難しい内容で・・・ ωが出てくるのは予想外でした。。。 でも丁寧に回答していただきありがとうございました。

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