微分方程式の問題で・・・

質問

m(d^2x/dｔ^2)=mg-kx
この微分方程式の一般解の求め方がわかりません。
詳しく教えていただけると嬉しいです。
おねがいします

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

実践的でない方法と言えるかどうか分かりませんが，以下のように解くこともできます．
微分方程式　m(d^2x/dｔ^2)＝mg－kx　を変形すると，

m(d^2x/dｔ^2)＋kx－mg＝0

ここで，

z＝kx－mg

とおき，両辺を　t　で２回微分すると，

dz/dt＝kdx/dt
d^2z/dt^2＝kd^2x/dt^2

となります．これを変形すると，

(1/k)d^2z/dt^2＝d^2x/dt^2

です．この式と　z＝kx－mg　を

m(d^2x/dｔ^2)＋kx－mg＝0　に代入して変形すると，

(m/k)d^2z/dt^2＋z＝0

となります．この微分方程式を　z　について解きます．
まず，B　を定数として，

z＝exp(Bt)

とおいて，d^2z/dt^2　を計算すると，

dz/dt＝Bexp(Bt)
d^2z/dt^2＝B^2exp(Bt)

ですから，(m/k)d^2z/dt^2＋z＝0　に代入して B を求めると，

(m/k)B^2exp(Bt)＋exp(Bt)＝0
(m/k)B^2＋1＝0
B^2＝－(k/m)
B＝±i√(k/m)　　　　　i＝√(－1)　　（虚数単位）

となります．B　が求まりましたので，z は，

z＝exp((±i√(k/m))t)

と書けます．(m/k)d^2z/dt^2＋z＝0　は２階線形なので，
α，β　を定数として，

z1＝αexp(ti√(k/m))

z2＝βexp(－ti√(k/m))

とおくと，z は，z＝z1＋z2 と書けるので，

z＝αexp(ti√(k/m))＋βexp(－ti√(k/m))

となります．ここで，z＝kx－mg　から，x　を求めると，

kx＝mg－[αexp(ti√(k/m))＋βexp(－ti√(k/m))]

x＝(mg/k)－(α/k)exp(ti√(k/m))－(β/k)exp(－ti√(k/m))]

が得られます．
－(α/k) および －(β/k) は積分定数なので，あらためて，

C＝－(α/k) および D＝－(β/k) とおくと，

x＝(mg/k)＋Cexp(ti√(k/m))＋Dexp(－ti√(k/m))]

が得られます．故に，

x＝(mg/k)＋Csin(t√(k/m))＋Dcos(t√(k/m))]

となります．この一般解は，＃１さんと一致しています．

回答No.3

rnakamra

#1のものです。
1行目間違っています。
mg-kx=ky
ではなく、
mg-kx=-ky
です。

回答No.2

spring135

単振動の問題ですね。m,g,kは定数とします。

m(d^2x/dｔ^2)=mg-kx

d^2x/dｔ^2+kx/m-ｇ＝0　　　(1)

定数係数の2階常微分方程式ですので解法はどんな参考書にも出ています。

ここではもう少し実践的な方法でやりましょう。

y=x-mg/k

とおくと(1)は

d^2y/dｔ^2+ky=0

D^2+k/m=0

k>0

解はD=±i√(k/m))

y=ae^(-it√(k/m))+be^(it√(k/m))
=ccos(t√(k/m))+dsin(t√(k/m))
x=ccos(t√(k/m))+dsin(t√(k/m))+mg/k

c,dは初期条件から決めます。

補足

解説ありがとうございます。しかし自分の理解力が低いのでわからない点がいくつかあります。
y=x-mg/kと置いた際にd^2x/dｔ^2がd^2y/dｔ^2なることがよくわかりません。
またD^2+k/m=0のk/mがどうやって出てきたのかがわかりません。

あとよろしかったらですが実践的でない方法も教えてもらえると嬉しいです。

回答No.1

rnakamra

mg-kx=ky
となるようなyを用いて元の微分方程式を書き換えれると、yについての単振動を表す微分法定式が得られます。

これは重力が働いた状態でのバネに吊るされた物体の上下方向の振動を表す式です。
これは、重力で伸びる分オフセットされた同じ周期の単振動になります。