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物理の微分方程式

物理の微分方程式 高二です。塾で微分方程式を習ったのですが、さっぱりです。。。。 問 質点が速度Vに比例する抵抗力を受けて運動する際、V(t)、X(t)を求めよ。ただし、比例定数をk(>0)とする。 解 ma = mg-kv --1 a = dv/dt --2 v = dx/dt --3 1,2より dv/dt = g-kv/m よって dv/dt = -k/m(v-mg/k) ---4 ←変数分離型     (1/v-mg/k)dv = -k/m dt ----5 ここから積分して、計算して log{v(t)-mg/k} = C-kt/m ----6 (C=log{v(0)-mg/k}) {}は絶対値 そして {v(t)-mg/k} = e^C -e^-kt/m -----7 その後 v(t)=mg/k(1-e^-kt/m)(t≧0) となりました 質問 (1)初期条件ってなんですか?   (2)4→5の過程はなぜやるんですか?変数分離型ってなんですか?   (3)6→7の過程でなぜlogがとれるんですか?   (4)よければx(t)の答えを教えて下さい とても困っています!部分的でもよいので教えて下さい、お願いします

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  • 回答No.1
  • sanori
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(1) たとえば、1個200円のお菓子をx個買うとして、箱代が必ずA円かかるとすると、 支払うお金 = y = 200x + A ですよね? ここで、 「5個買ったら、合計1100円だった」(x=5のときy=1100) という条件を与えると、 1100 = 200×5 + A より A=100 となって、箱代100円が定まり、 y = 200x + 100 というふうに関数も定まります。 初期条件というのは、 「5個買ったら、合計1100円だった」 のことです。 (2) dv/dt = -k/m(v-mg/k) のままで積分しようとすると、 ∫dv/dt = ∫-k/m(v-mg/k) となるので、変ですよね? だから、dなんちゃらが左と右に1個ずつ、しかも分母にならないように来るように変形すると、 (1/v-mg/k)dv = -k/m dt となります。 この式を見ると、vやdvは左辺にしかなく、tやdtは(この場合はtはありませんが)右辺にしかありません。 2つの変数が左右にうまく分離できているので、「変数分離」と言います。 (3) 6の両辺の指数を取っているだけです。 たとえば、log[2]8 = 3 ですが、底の2を使って両辺の指数を取ると、 8 = 2^3 となりますよね? 見た目、log[2]が消えたように見えますが、実際は指数を取っています。 左辺のlogが消えたことの代償(?)として、右辺は指数関数になっています。 それと同じことです。 右辺は、C-kt/m のeの指数を取って e^(C-kt/m) = e^C・e^(-kt/m) 左辺は、 e^(log[e]{v(t)-mg/k}) = {v(t)-mg/k} (4) 式3を見るとわかりますが、 x = ∫vdt なので、上でも求まったvの式をぶち込んでtで積分するだけです。

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質問者からの補足

素早い回答本当にありがとうございます! 大変助かります! (2)で dv = -k/m(v-mg/k)dt として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

No.1の回答者です。 コメントに答えます。 >>> (2)で dv = -k/m(v-mg/k)dt として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか? たとえば、一例として v=Lx^2+Mx+N (L、M、Nは定数) と与えられていれば、 ∫-k/m(v-mg/k)dt は計算できます。 単に v=Lt^2+Mt+N を代入してから積分すればよいのですからね。 しかし、最初からvとtの関係がわかっているならば、そもそもvを求めることの意味がないですよね。 vがtのどのような関数であるかがわからないから、微分方程式でその関数を求めるのです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 最初から最後まで本当にありがとうございます! とても勉強になりました!ありがとうございました

  • 回答No.2

#1様が立派な回答を作られておられるので、私はそれについた疑問だけ回答を。 >(2)で dv = -k/m(v-mg/k)dt として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか? 問題文の中でご自身で >V(t)、X(t)を求めよ。 と書かれておられますね。つまり、速度は時間の関数であり、正確に書くならば dv = -k/m(v(t)-mg/k)dt です。これを積分するにはあらかじめv(t)がどのようなtの関数であるかを知る必要があり、今はこのよくわからないvの形を定めようとしているわけです。 そもそもvの形が分かっているなら積分しなくとも、その形が解ですよね^w^ そんなわけで変数分離は積分計算が可能となるように、右辺と左辺にそれぞれの変数を寄せ集めてやるわけです。

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回答ありがとうございます! 本当に助かりました!ありがとうございます!

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