微分方程式

質問

d2y/dt2+2k2y/m2=20k2/m2－g
を解きたいのですが、どうやって解けばいいのか分かりません。
こんな形の微分方程式は見たことがないです。
ここで、y、tは変数とします。
d、ｔ、ｋ、ｍの後ろの２は二乗の２です。
20k2/m2と－gは分離しています。
よろしくお願いします。

回答No.1

foobar · ベストアンサー

形としては、
Ay''+By=C
の定係数線形微分方程式ですね。
解法としては、

Ay''+By=0
を満たす同次解y0を計算して、
(計算は特性方程式 Am^2+B=0 でm(m1,m2)を計算して、
y0=c1 exp(m1t) + c2 exp(m2t)
を使うのが楽かと思います)

もうひとつ、
Ay''+By=C
を満足する特殊解y1を計算して

y=y0+y1

で出すのが楽かと思います

お礼

ご回答ありがとうございました。
回答者さんのおかげでなんとか解くことができました。

回答No.2

abyssinian

数学カテじゃなく物理カテに質問するのはこれが物理の問題だからだと思うんです。質量とバネの運動方程式ではないかな？固有振動ω=√(k/m)だから普通(k/m)には2乗が付かないと思う。ωで書けば2乗が付いて
　d2y/dt2+ω^2y=20ω^2－g　　ではないのかな。gが重力加速度とすればmに2乗があると式の次元が運動方程式じゃないので変です。確認してください。

　解き方の方針としては、数学の抽象的な微分公式にあてはめるだけでは物理じゃないとおもうので、まず静止状態dy/dt=0でのyがどうかを考察すればいい。そのyをLと書けば式は
　0+ω^2L=20ω^2－g　　Lを求めると
　L=(20ω^2-g)/ω^2　 これはバネが重力で伸びた長さだよね。yからこれを引いたのを新しい変数Yとすれば dY/dt=dy/dt であるから
　d2Y/dt2+ω^2Y=0　　　です。ωを元に戻せば
　md2Y/dt2=－kY　　　です。これらは物理の教科書に単振動の運動方程式として載っていると思います。解は Ａcos(ωt) Aは任意の初期振幅。

お礼

ご回答ありがとうございました。
確かに物理の問題ですが、ばねの固有振動の問題ではなく、抵抗力を考慮した自由落下運動の問題でした。