連立微分方程式の解について質問があります。

質問

連立微分方程式の解について質問があります。

m1,m2,k1,k2,μ,gは定数であり、x1,x2はtの関数であるとき、

m1*dx1^2/dt^2=-k1*x1+k2(x2-x1)±μ*m1*g
m2*dx2^2/dt^2=-k2(x2-x1)±μ*m2*g

※表記があってるかわからないのですがdx1^2/dt^2はx1の二階微分です。

の解を求めたいのですが、これがどうしても解けません。
わかる方がいらっしゃいましたらできるだけ詳しく教えていただけないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.1

ninoue

ヒントだけですが、
問題は同次連立線形微分方程式等として知られています。

連立常微分方程式
連立線形常微分方程式
等としてサーチすると解説記事、例題などが見つかります。
(適当な例は中々見つからないようなので、数十エントリー位はチェックする必要があるようです)

例えば次を参照下さい。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/diffpub.html
応用数学入門
(連立同次線形微分方程式)

物理イメージとしては次の様に考えれば良いと思われます。
(考え違いがあるかも知れませんが)
斜面上に滑車を介してm1,m2が繋がれており、そのロープの途中にバネ定数k2のバネが繋がれている。
また、m1はバネ定数k1のバネで斜面上の固定点と繋がっている。
+-μmgの項は、重力の斜面方向の分力、+-はロープに沿って取ったX軸の正方向を斜面を降りる/登る方向に取るかで+/-のどちらかを取る。

平衡状態からm1,m2(両方或いは一方)の位置をずらして離し運動を開始する。
そうすると単振動が始まり、減衰項(dx1/dt,dx2/dt)はないのでその状態が永続する。

m1*dx1^2/dt^2=-k1*x1+k2(x2-x1)±μ*m1*g　(1)
m2*dx2^2/dt^2=-k2(x2-x1)±μ*m2*g (2)

ここで　μm1g, μm2gの項に関連する解は定数となり、dx1^2/dt^2,dx2^2/dt^2 の項を0と置いた連立方程式として求める事が出来る。

他の一般解は、dx1/dt=λ*x1, d^2x1/dt^2 = λ^2*x1 と形式的に置き換え、
(通常は dx1/dt=u, d^2x1/dt^2 =du/dt 等として4変数、4元方程式として求めるらしいですが)

(x1=a*exp(λt), x2=b*ex(λt), λ=jω を仮定)
1,2式に代入し、μm1g, μm2gの項を0として1,2式を変形する。

後は次の連立同次線形微分方程式の固有値を求める考え方と略同じで、λ^2の値が負値として2個求められる。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node33.html
連立同次線形微分方程式

結局解はsin(ωt), cos(ωt)の組合せとして求められる筈です。ωとしてはω1,ω2の2個が求まると思います。

ワイリー著　工業数学　が適していると思いますので、ぜひamazon等から購入して調べて下さい。
上巻　章3 連立線形微分方程式
大学の工学部で必要な数学の殆どはカバーされていますし、章末の問題の奇数番の回答があり、自習に最適です

その他次も参考になると思われます。
http://okwave.jp/qa/q5653918.html
中学レベルから大学受験までの道のり