積分後m/k分合わない 空気抵抗を受ける物体の落下

質問

本には

v=dy/dt
= -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}]　　　　　(2.22)

ここで、t=0 のときに v=0 であるから C=0 と定まる。
さらに、式(2.22)をtで積分するとyが次のように求まる。

y = -√(mg/k)t - m/k log( 1+e^2√(kg/m)t ) + C'　　　　　(2.23)

・・・と書いてあります。

これを自力でやってみました。
「t=0 のときに v=0 であるから C=0 と定まる」とあるので、式(2.22)はCを消して実質

v=dy/dt
= -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}]　　　　　(2.22)'

になります。これをtで積分すると、

∫(dy/dt) dt = -√(mg/k) ∫[ [1-e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ] dt
∫dy = -√(mg/k) ∫[ [1+e^{-2√(kg/m)t} -2e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ] dt
y = -√(mg/k) ∫[ 1 - [2e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt
y = -√(mg/k) [∫dt - 2∫[ [e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt ]
y = -√(mg/k)t + 2√(mg/k)∫[ [e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt

ここで分母を微分すると、[1+e^{-2√(kg/m)t}]' = -2√(kg/m)・e^{-2√(kg/m)t}

ということで、後ろの項は、分子が-2√(kg/m)・e^{-2√(kg/m)t}であれば、積分すると晴れて
log | [1+e^{-2√(kg/m)t}] |にできます。
ちょうど積分記号∫の前に+ 2√(mg/k)がありますので取り入れて

y = -√(mg/k)t -∫[ [2√(mg/k)・e^{-2√(kg/m)t}] / [1+e^{-2√(kg/m)t}] ]dt
y = -√(mg/k)t - log | 1+e^{-2√(kg/m)t} | + C'

・・・あれ？　式(2.23)の m/k はどこから降ってきたのでしょうか？
どこか計算を抜かしていますでしょうか？　どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

＞ということで、後ろの項は、分子が-2√(kg/m)・e^{-2√(kg/m)t}であれば、積分すると晴れて
＞log | [1+e^{-2√(kg/m)t}] |にできます。
＞ちょうど積分記号∫の前に+ 2√(mg/k)がありますので取り入れて

ここが違います。取り入れられません。逆数になってますよ。

それからlogの中は、この場合正が保証されている（1+e^{-2√(kg/m)t}＞0）ので絶対値はいりません。

2√(kg/m)と+2√(mg/k)は違います。

ポイント部分だけを書くと、
2√(mg/k)*{1/-2√(kg/m)}=-m/k
とでます。

確認してみてください。

お礼

ありがとうございます。
実はこちらでも今それを見つけたところです。（恥

でも、絶対値も疑問だったんですよ。

> それからlogの中は、この場合正が保証されている（1+e^{-2√(kg/m)t}＞0）ので絶対値はいりません。

ということだったんですね。
お陰様でスッキリしました。
ありがとうございました！