力積

質問

質量mの物体が、原点Oの周りをaの円運動をしている。定数Cをもちいて、向心力の大きさがC/a^2と表されるとする。
円運動がxy平面上にあるとき、軌道上の任意の場所における原点のまわりの角運動ベクトルを成分であらわせ。回転方向は各自定義せよ。

L↑=r↑p↑

ここからどうすればいいのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

円周上に質点があるので、
質点の位置ベクトルrとx軸のなす角度をθとすると、
　x = acosθ
　y = asinθ

ここから、どうしようか・・・。
t = 0のとき、x軸上の(a,0)という点を出発し、反時計回りに角速度ωで回っているとすると、　x = acosθ = acos(ωt)
　y = asinθ = asin(ωt)

それで、これを微分すると、
　v_x = (dx/dt) = -aωsin(ωt)
　v_y = (dy/dt) = aωcos(ωt)

角運動量は
　r×(mv) = m(acosωt,asinω,0)×(-aωsin(ωt),aωcos(ωt),0)
= ma^2ω(0,0,cos^2(ωt)+sin^2(ωt)) = ma^2・ω(0,0,1)

ですから、z軸の成分がma^2・ωの、z軸方向のベクトルとなります。
真面目に計算するならね。

でも、円運動では、位置ベクトルと速度ベクトルが直交している（θ=π/2)ので、
　|L| = m|r||v|sinθ = m|a||aω|sin(π/2) = ma^2・ω
とすぐに出るんだけれどね。

お礼

xy平面なのに、ｚ軸方向のベクトルになるっておかしくないですか？

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

＞L↑=r↑p↑

じゃなくて

L↑=r↑ x p↑ (x は外積, r↑は物体の位置ベクトル、p↑は運動量ベクトル)

だから、角運動量ベクトルはz軸方向成分のみですよ。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.4

Tacosan

「ありうる」もなにも, 定義上そうなるしかないじゃん.

何か問題でも?

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

何が「xy平面」で何が「ｚ軸方向のベクトル」で, そのどこが「おかしい」と思ったんですか?

お礼

円運動がｘｙ平面なのに角運動量ベクトルの成分がｚ軸方向ということはありうるのでしょうか？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

円運動の角速度をωとすると
aω^2・m=C/a^2 → ω=√(C/(ma^3))

回転方向をx軸正方向からy軸正方向とすれば

角運動量べクトルは

(0, 0, ma^2・ω)

で、軌道上の(x, y, 0)において
a=√(x^2+y^2)

もう分かりますよね。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。