原点からの位置ベクトル

質問

原点からの距離を一定に保つ運動をする物体Pの原点からの位置ベクトルをr(t)とする。

物体Pはどのような軌跡を描くか？その軌跡がしたがう数式を求めよ

物体Pの速度ベクトルと位置ベクトルが、互いに直交することを示せ

物体Pは円運動だと思いますがそこから先がわかりません。詳しい解説お願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

r↑(t)=(x(t),y(t))

原点からの距離を一定値aとすると

x(t)=acosΘ(t)

y(t)=asinΘ(t)

奇跡は

x(t)^2+y(t)^2=a^2

v↑(t)=dr↑(t)/dt=(vx(t),vy(t))

vx(t)=-a(dΘ(t)/dt)sinΘ(t)

vy(t)=a(dΘ(t)/dt)cosΘ(t)

r↑(t)とv↑(t)の内積を作ると

r↑(t)・v↑(t)=a^2(dΘ(t)/dt)(-cosΘ(t)sinΘ(t)+sinΘ(t)cosΘ(t)=0

ゆえに

r↑(t)とv↑(t)は直交する。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

gohtraw

物体の座標を（ｘ、ｙ）とすると、原点からの距離が一定なので、
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｒ＾２
ここでｒは原点と物体の距離を表す。

物体の座標を極座標に直すと、
ｘ＝ｒｃｏｓΘ
ｙ＝ｒｓｉｎΘ
Θは原点と物体を結ぶ線分と、ｘ軸の正の方向がなす角とする。

ここでΘが時間ｔの関数ｆ（ｔ）と表すことができるとすると、
ｘ＝ｒｃｏｓ（ｆ（ｔ））
ｙ＝ｒｓｉｎ（ｆ（ｔ））
これら（物体の位置ベクトルのｘおよびｙ成分）を時間で微分すると
ｄｘ／ｄｔ＝－ｒｓｉｎ（ｆ（ｔ））・ｄ（ｆ（ｔ）／ｄｔ）
ｄｙ／ｄｔ＝ｒｃｏｓ（ｆ（ｔ））・ｄ（ｆ（ｔ）／ｄｔ）
この二つが物体の速度ベクトルのｘ成分、ｙ成分となる。

位置ベクトルと速度ベクトルの内積をとるとゼロになるので、
二つのベクトルは直交する。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。