位置ベクトルの問題！

質問

原点Oから直線ｌに垂線をひき、ｌとの交点をＨとし、ＯＨ（→）と同じ大きさの単位ベクトルをｎ（→）、ＯＨ（→）の大きさをｐとする。またｌ上の任意の点ｐの位置ベクトルをｒ（→）とする。

ＯＨ（→）＝ｐｎ（→）
ＨＰ（→）＝ｒ（→）ーｐｎ（→）

となります。問題はここからです。

ｎ（→）×ｒ（→）＝ｐ　が成り立つ事を証明したいのです！
解き方はわかるんです。ＯＨとＨＰが直交しているので、
ＯＨ（→）⊥ＨＰ（→）よりＯＨ（→）×ＨＰ（→）＝０
を使えばいいのですが、代入しても途中で分からなくなるのですが？？

ｐｎ（→）×ｒ（→）ーｐｎ（→）＝０
の続きが分からないのです。教えてください。お願いしますm(__)m

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

おはようございます！！
ＯＨ（→）＝ｐｎ（→）
ＨＰ（→）＝ｒ（→）ーｐｎ（→）
です。
さて、線分OHとHPは垂直なので、
ベクトルＯＨ（→）とＨＰ（→）は垂直ゆえ、内積はゼロですね。

ＯＨ（→）・ＨＰ（→）＝０
ｐｎ（→）・｛ｒ（→）－ｐｎ（→）｝＝０
ｐｎ（→）・ｒ（→）－ｐ＊ｐｎ（→）・ｎ（→）＝０
ここで、ｎ（→）・ｎ（→）＝｜ｎ（→）｜＾２
なので、両辺ｐで割ると
ｎ（→）・ｒ（→）－ｐ｜ｎ（→）｜＾２＝０
さらに、ｎ（→）は単位ベクトルなので、その大きさは１だから
ｎ（→）・ｒ（→）ーP＝０
ｎ（→）・ｒ（→）＝ｐ
が証明されました。

回答No.2

noname#24477

書き方に問題ありすぎです。

まずベクトルでは内積に×記号を使ってはいけない。「・」を使います。
これは約束事ですからなんでもいいでしょ、というわけにいきません。

それからｐというのを２回別の意味で使っています。
点Ｐというときは大文字にして下さい。

それから「ＯＨ（→）と同じ大きさの単位ベクトルをｎ（→）」
のところは「同じ向きの」でしょうね。

時間がないので後はよろしく。

回答No.1

oshiete_goo

＞ｎ（→）×ｒ（→）＝ｐ
これは表記に問題ありで,多分内積の話なので
(→n)・(→r)＝p
などと点で表すべきで,×は外積に使われます.
→r＝→OP＝→OH＋→HP＝p(→n)＋→HP
→r＝p(→n)＋→HP
両辺の→nとの内積を考えると
(→n)・(→r)＝(→n)・{p(→n)＋→HP}＝p(→n)・(→n)＋(→n)・(→HP)・・・(*)
ここで
(→n)・(→n)＝|→n|^2＝1 (→nは単位ベクトルより, |→n|＝1)
(→n)・(→HP)＝0 (→n⊥→HP)
なので,(*)式の最右辺はp＋0＝pとなり
(→n)・(→r)＝p