力学

質問

質量mの物体が原点の周りを運動していて、原点から万有引力を受けている。
（１）物体の位置を（ｘ、ｙ）として、まずデカルト座標で運動方程式を書きなさい。ただし原点には質量Mの物体があり、万有引力定数をGとする。
（２）デカルト座標で表した式を用いて、極座標（ｒ、θ）における運動方程式を書き下しなさい。
（３）原点の周りの角運動量が保存されることを示しなさい。
答えがないので不安です。お願いします。

回答No.2

keyguy · ベストアンサー

下記議論はｍ＜＜Ｍのときにしか成り立たない。
以下ｍ＜＜Ｍの仮定をしないでもよい場合を示す。

一つの慣性系を選びその原点Ｏを選ぶ。
質量ｍの質点のＯからの位置ベクトルをｒとし
質量Ｍの質点のＯからの位置ベクトルをＲとし
万有引力定数をＧとすると
万有引力の法則と運動の第２法則により
ｍｒ”＝－ｍＭＧ（ｒ－Ｒ）／｜ｒ－Ｒ｜＾３
ＭＲ”＝－ｍＭＧ（Ｒ－ｒ）／｜Ｒ－ｒ｜＾３
すなわち
ｒ”＝－ＭＧ（ｒ－Ｒ）／｜ｒ－Ｒ｜＾３
Ｒ”＝－ｍＧ（Ｒ－ｒ）／｜Ｒ－ｒ｜＾３
片々引いて
（ｒ－Ｒ）”＝－Ｇ（Ｍ＋ｍ）（ｒ－Ｒ）／｜ｒ－Ｒ｜＾３
ここで原点をＲにおくと
ｒ”＝－Ｇ（Ｍ＋ｍ）ｒ／｜ｒ｜＾３
となる。
すなわち１においてＭをＭ＋ｍに修正しなければならない。
Ｒを原点にするということはこの座標系は非慣性系で有ることを忘れてはならない。
（慣性系から見ると原点は振られている。）

回答No.3

JCM

質量Mの物体が原点にあり、位置(x, y)にある質量mの物体が質量Mの物体から万有引力を受けて運動しているとき、デカルト座標で運動方程式を書けば、

m x"＝－(G Mm x)/(x^2＋y^2)

m y"＝－(G Mm y)/(x^2＋y^2)

ただし、ここで、x"＝dx^2/dt^2、y"＝dy^2/dt^2 としました。次に極座標(r, θ)に変換します。

x＝r cosθ
y＝r sinθ

x'＝r'cosθ－r sinθθ'
y'＝r'sinθ＋r cosθθ'

ここでも、x'＝dx/dt、y'＝dy/dt、r'＝dr/dtd、θ'＝θ/dt としています。

もう一度 t について微分すると、

x"＝r"cosθ－r'sinθθ'－r' sinθθ'－r cosθ(θ')^2－r sinθθ"
　＝{r"－r(θ')^2}cosθ－{2r'θ'＋rθ"}sinθ

y"＝r"sinθ＋r'cosθθ'＋r'cosθθ'－r sinθ(θ')^2＋r cosθθ"
　＝{r"－r(θ')^2}sinθ＋{2r'θ'＋rθ"}cosθ

また、r"＝dr^2/dt^2、θ"＝d^2θ/dt^2　としています。

x/(x^2＋y^2)＝cosθ/r、y/(x^2＋y^2)＝sinθ/r

ですから、運動方程式を

m[{r"－r(θ')^2}cosθ－{2r'θ'＋rθ"}sinθ]＝－(G Mm cosθ)/r・・・(a)

m[{r"－r(θ')^2}sinθ＋{2r'θ'＋rθ"}cosθ]＝－(G Mm sinθ)/r・・・(b)

と書き換えることができ、(a)×cosθ＋(b)×sinθ、(b)×cosθ－(a)×sinθ　によって極座標での運動方程式

m{r"－r(θ')^2}＝－(G Mm)/r

m(2r'θ'＋rθ")＝0・・・(c)

が導かれます。ところで、原点の周りの角運動量 L は、

L＝m(xy'－yx')

ですから、極座標で表すと、

L＝m[rcosθ(r'sinθ＋r cosθθ')－rsinθ(r'cosθ－r sinθθ')]＝m r^2 θ'

ですが、(c)により、

L'＝m(2rr'θ'＋r^2θ")＝mr(2r'θ'＋rθ")＝0

を得ますので、角運動量 L は保存することがわかります。ここでもL'＝dL/dtを用いました。

回答No.1

keyguy

ニュートンの世界は３次元なので２次元で考えても余り説得力がないので３次元で示します。

ｍｘ”＝－ＧｍＭｘ／（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）＾（３／２）
ｍｙ”＝－ＧｍＭｙ／（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）＾（３／２）
ｍｚ”＝－ＧｍＭｚ／（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）＾（３／２）
です。

極座標で表すよりも質量ｍの物体の位置を質量Ｍの物体からの位置ベクトルで表す方が簡単になります。
ｍｒ”＝－ＧｍＭｒ／｜ｒ｜＾３
すなわち
ｒ”＝－ＧＭｒ／｜ｒ｜＾３
です。

×を外積として
ｒ×（ｍｒ”）＝－ＧｍＭｒ×ｒ／｜ｒ｜＾３＝０
（同じ方向のベクトルの外積は０だから）
ところで
（ｒ×ｒ’）’＝ｒ×ｒ”＋ｒ’×ｒ’＝ｒ×ｒ”
だから
（ｒ×（ｍｒ’））’＝ｒ×（ｍｒ”）＝０
よって
ｒ×（ｍｒ’）＝一定
これが原点の周りの角運動量保存を示しています。