線積分の問題

質問

Φ＝Arctan(y/x)とし、Cをxy平面上で原点とし半径aの円とする。 線積分∫c(∇Φ)・dｒ (drはベクトルです）を求めると、その値は0ではなく、2πになるのですが、なぜでしょうか。どなたかご教授願います。

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

それは飛躍しすぎ. せいぜい, 「この関数では『スカラーポテンシャルを持つから周回積分すると 0』としてはいけない」というだけ. 実際 #1 では周回積分を定義通り実行してちゃんと 2π という値を求めてるでしょ?

そもそもこの関数 Φ は原点で確定した値を持たない = 定義できないわけですから, 原点を含む領域では単純に「スカラーポテンシャル～」とかやっちゃいかんのです.

お礼

ようやく理解出来ました。何度も回答していただきありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

C上の周回積分と「(a, 0)→(0, a)→(-a, 0)→(0, -a)→(a, 0) の各部分での線積分の和」は等しくないとおかしいよね.

で, こうなる理由はもとの Φ にあります. 例えば ∇Φ は (#1 あるいは #2 の結果を図示すればわかりますが) 原点を中心として渦を巻いています. もっといえば, Φ は原点において確定した値を持ちません.

お礼

では、原点で確定した値を持たない場合、周回積分は０にはならない、つまり、渦を巻いているので、円として線積分できないということでしょうか。

回答No.4

Tacosan

ベクトル解析などほとんど忘却の彼方だけどちょっと気になった.

周回積分って, 積分方向は無視していいんだっけ? もちろん「Cをxy平面上で原点とし半径aの円とする」という表現で「自然な方向付け」もされていると仮定してもいいんだけど, それでもやっぱり「方向」は必要じゃないかなぁ.

あと, この「原点を中心とする半径 a の円」を, いくつかの円弧に分けてそれぞれ計算したら結果はいくつになりますか? たとえば, 円を反時計回りに回るとして,
(a, 0)→(0, a)→(-a, 0)→(0, -a)→(a, 0)
の 4つの部分に分けてそれぞれで線積分を計算すると結果はいくらでしょうか?

お礼

返信遅くなりました。(a, 0)→(0, a)でπ/2、(0, a)→(-a, 0)でπ/2、(-a, 0)→(0, -a)でπ/2、(0, -a)→(a, 0)でπ/2で合計して２πになると思うのですが、これが何か関係しているのでしょうか。

回答No.3

151A48

一般に，閉曲線Ｃに対して　∫Ａ・ｄｒ＝０　（Ａ，ｒ　ベクトル）　は常に成立するわけではありません。
そのための必要十分条件は　恒等的に　▽×Ａ＝０　（▽×Ａ　はrotation)です。証明はストークスの定理を使ってやったように記憶していますが，適当な書物で調べてみて下さい。
保存力Ａは上記の関係をみたしますが，この例ではそもそも保存力になっていないのでは？

お礼

回答ありがとうございます。∇×A=∇×(∇Φ)=0を満たしているので、A=∇Φは保存力ではないのですか。

回答No.2

yyssaa

∇Φ=-{y/(x^2+y^2)}dx+{x/(x^2+y^2)}dy
x=acosθ、y=asinθ、dx=-asinθdθ、dy=acosθdθ
として
∫c(∇Φ)・dｒ=∫(0→2π)(asinθ/a^2)(-asinθ)dθ
+∫(0→2π)(acosθ/a^2)(acosθdθ)
=-∫(0→2π)sin^2θdθ+∫(0→2π)cos^2θdθ
=-［θ/2-(1/4)sin2θ］(0→2π)+［θ/2+(1/4)sin2θ］(0→2π)
=-(π-0-0-0)+(π+0-0-0)=0

回答No.1

151A48

「原点とし」は「原点を中心とし」の意味ですね？
Arctan(y/x)のxについての偏微分 -y/(x^2 +y^2) , yについての偏微分x/(x^2 +y^2)
と計算できるので∫▽Φ・ｄｒ＝∫{-y/(x^2+y^2)}dx +∫ {x/(x^2+y^2)}dy
x=acosθ，y=asinθ　と変数変換して　０＜θ＜２π　の積分にすると
∫sin^2(θ)dθ +∫cos^2( θ)dθ=∫(1-cos2θ)/2 dθ +∫(1+cos2θ)dθ
計算していけば，私の計算では　２π　になりました。間違っていたらごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございました。おっしゃる通り、「原点とし」は「原点を中心とし」の間違いです。質問の仕方がよくなかったようですので補足します。周回の線積分でスカラーポテンシャルを持っているとき、その値は通常、０になるはずなのに、なぜ、このように2πという値を持つのでしょうか。