線積分の問題です

質問

Cをxy平面上の曲線y=x^2の(0,0)から、(1,1)まで向かう部分とする次のベクトル場Aに対し、線積分∫A・dsを求めよ。
A=2xi-3yj A=xyi-y^2j A=cosxi

これらの問題の解き方でパラメータ形式を使わなくても楽に解くことが出来ると耳にしたのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか？
ご教授お願いいたします。

回答No.2

noname#111804 · ベストアンサー

A=(xy)i+(-y^2)jの場合
ds=dxi+dyjとして
A・ds=（xy)dx+(-y^2)dy…(1)

∫[C}A・ds＝∫[C} (xydx+(-y^2)dy)
=∫[0→1] (x^3-2x^5)dx
（ｙ＝ｘ＾２、dy=2xdx より）
=(x^4/4-x^6/3)[x=0--->x=1]
=1/4-1/3
=-1/12
***********************************************
A=(cosx)iの場合

ds=dxi+dyjとして
A・ds=（cosx)dx…(1)

∫[C}A・ds＝∫[C} (cosx)dx+(0)dy)
=∫[0→1] (cosx)dx
（ｙ＝ｘ＾２、dy=2xdx より）
=(sinx)[x=0--->x=1]
=sin(1)

回答No.1

info22

線積分は学校の授業で学習されたのでしょうね。

問題を丸投げしないで、分かる範囲で各積分のを途中計算とともに補足に書いてください。そして行き詰ってわからない箇所を補足質問してください。

線積分は内積の積分をすれば良いでしょう。
内積は習っていますね。
たとえば、
A=2xi-3yjの場合なら
ds=dxi+dyjとして
A・ds=2xdx-3ydy…(1)
ここで　sの経路は　y=x^2　なのでこのyと
微分した dy=2xdx を (1)の式に代入してやると線積分は
∫[C}A・ds＝∫[C} (2xdx-3ydy)=∫[0→1] (2x-6x^3)dx
と書ける。
この積分なら簡単に出来るだろう。

他のAについても同様に出来ますので、上に習って同じようにやってみて下さい。

分からないなら、やった途中計算の過程を詳しく補足に書いて、質問して下さい。