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積分の問題です
1.Dを原点の中心、半径εの円板として、線積分∫∂D{(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)}を計算してください。 2.x-y平面内の領域Dは境界∂Dの上に原点がないとする。このとき ∫∂D{(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)}＝０ （原点がDの外部にある） ＝２π（原点がDの内部にある） を証明してください。
- aerts_2009
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z = x+yi (i は虚数単位) と置くと、 ∫dz/z = ∫(xdx+ydy)/(x~2+y~2) + i∫(xdy-ydx)/(x~2+y~2) が成り立ちます。 右辺の虚部が、問題の積分になっていますね。 後は、∫dz/z に留数定理を適用して、 両辺を実部ごと虚部ごとに比較すれば終了。 「留数定理」については、一度 成書にあたってみたほうがよいと思います。
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補足
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