振り子の振動について。

質問

振り子の振動について。

［問題］
右半分の糸の長さはL、左半分の糸の長さはL/2となるように、真中に釘を打っている振り子がある。このとき、振り子を初期変位Θ＝αで離した場合、左側の領域における最大角変位βを求めよ。

［解答］
初期変位Θ＝αで離したおもりの運動は、
Θ(t)=αcos(t/√(g/L))
であらわされる。

平衡点を通過するときの角速度は、
(Θの１階微分)=-α√(g/L)
であり、速度は
L×(Θの１階微分)=-α√(gL)
どなる。

この値を初期角速度とする長さL/2の振り子の運動は
Θ(t)=-√2×αsin(t√2g/L)
である。

このため最大角変位はβ=√2αとなる。

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この問題についてなのですが、

(1)Θ(t)=αcos(t/√(g/L))は調和振動のx=Acos(ωn×t+φ)を振り子に変換させていると思うのですが、振り子の方には初期位相角φがありません。これはなぜでしょうか？

(2)『平衡点を通過するときの角速度は、
(Θの１階微分)=-α√(g/L)』

これはなぜでしょうか？

(3)『この値を初期角速度とする長さL/2の振り子の運動は
Θ(t)=-√2×αsin(t√2g/L)』

これはなぜでしょうか？

質問ばかりで申し訳ないですが、この３点をお願いします。

※Θの上に１ドットついているものは表示できなかったので、(Θの１階微分)と表現しています。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

一応の確認ですが，αは小さい角であるとして，近似が前提となっていますね？

(1)
t=0 で，Θ(0)=αという初期条件を加味すれば，cosで書いた角変位の中の初期位相はゼロになることが明らかです。

以下，ω = √(g/L)，時間微分を「'」と書きます。

(2)
Θ(t) = αcosωt
Θ'(t) = -αωsinωt
ですから，Θ'(t)の振幅はαωです。
平衡点通過は，ωt = π/2（すなわち1/4周期後）ですから，
Θ'(π/(2ω)) = -αω
となります。

(3)
角振動数ω1=√(2g/L)ですから，後半の角変位を
Θ1(t) = -γsinω1t
とおくと，平衡点の直前直後で速度は変わらないから，
LΘ'(π/(2ω)) = -Lαω = L/2・Θ1'(0)
一方，Θ1'(0) = -γω1
ですから，比較して
-L/2・γω1 = -Lαω　∴γ = 2αω/ω1 = √2・α
となります。

お礼

解決しました！ありがとうございます。

回答No.2

htms42

最大角変位の間の関係となっています。
最大角変位の位置では振り子の高さは最大です。
エネルギー保存から出るのではないでしょうか。

ｃｏｓβ＝２ｃｏｓα　－１

これはβ≦π／２であれば一般に成り立ちます。

もしこれが微小振動であるということでしたら

ｃｏｓβ～１－(1/2)β^2
ｃｏｓα～１－(1/2)α^2
として
β^2＝２α^2が出てきます。
β＝(√２)αです。

お礼

解決しました！ありがとうございます。