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単振り子が切れないように…

質量mのおもりを長さrの糸に取り付けた単振り子がある。 (糸は同じおもりをもう1つ付けてもギリギリ切れない強度を持っている) この(おもり1つだけの)単振り子を糸が切れないように運動させるとき、 おもりを最大どの高さまで上げることができるか。 但し、高さの基準は振り子の最下点とする。 ↑の問題が分かりません(^^; 2mgが限界なのだから、あとmg分の力にも耐え得るということですよね…? おもりに働く張力と重力以外の力は…慣性力なんでしょうか? 解法を説明していただけると助かります。

noname#146698
noname#146698

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  • 物理学
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質問者が選んだベストアンサー

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  • cfv21
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単振り子と書かれていますが、不等速円運動の問題です。 高校の範囲で考えます。高校の範囲では、不等速円運動の接線方向成分について運動方程式が扱えません。代わりに、力学的エネルギー保存則を考えます。単振り子なのでエネルギー保存は成立しています。 おもりの最高点で糸は鉛直方向と角θをなすとします。 最高点と最下点では、高さの差はr(1-cosθ)だけあります。最高点では、おもりの速さは0で運動エネルギーも0です。 最下点を基準にすると、角θをなす時点での位置エネルギーはmgr(1-cosθ)です。これが最下点での運動エネルギー(1/2)(mv^2)に等しいとおくと、 (1/2)(mv^2)=mgr(1-cosθ) 最下点での運動方程式は、最下点での張力をTとして、 T-mg=mv^2/r 両式よりv^2を消去して、 (T-mg)r=2mgr(1-cosθ) ∴ T=mg(3-2cosθ) θを0から大きくしていくと、cosθは小さくなるので、Tは大きくなります。 T=2mgのときに糸が切れるので、糸が切れない条件は、 T=mg(3-2cosθ)≦2mg ∴ cosθ≧1/2 従って、θを60度(π/3)よりも大きくすると切れることになりますが、このくらいの角度になってしまうと「単振り子」とは言えなくなります。

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質問者からの補足

θを60度よりも大きくすると切れるということは、 振り子は初めにr/2の高さまで上げることができるということで良いのでしょうか…?

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

振り子が運動しているとき,張力が2mgを超えるとおもりが吹っ飛んでいく という意味だと思われます。 つまり,運動中のおもりにはたらく,張力とは反対の力(No.1さんの遠心力ですね)が,2mgを超える条件を見つければいいのだと思います。

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  • 回答No.1

遠心力でしょう

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