ラグランジアンについて

質問

鉛直平面に固定されている半径ａのなめらかな円の頂上から質量mの質点を初速度0で滑り降りるとき、質点が離れる位置を求める問題で、ラグランジアンを
Ｌ=ｍa^2φ^2/2－mgａ(1-ｃｏｓφ)
と立てました。
これで合っているでしょうか?
未定定数が抗力となることを示したいのですが、どう示すのかわかりません。
ラグランジアンを使わずに、高校物理の範囲で解く方法はわかりますが、ラグランジアンをどう使うのかがわかりません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

質点が半径ａの円の周上を滑って行くいわゆる拘束条件付の問題ですね。極座標で書くよりもx、y座標で書いた方が取り扱い易くなります。そこで、円の中心を原点とし、鉛直方向にy軸の正の方向をとることにします。ラグランジアンはＬ＝Ｔ－Ｕ（Ｔ：運動エネルギー、Ｕ：位置エネルギー）と書けますから、この場合ラグランジアンは
Ｌ＝(1/2)m{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}-mgy (1)
となります。拘束条件は
x^2+y^2＝a^2 (2)
で与えられます。(2)の変分(仮想変位:まぁ微分と考えていいでしょう）を取りますと拘束条件は
xδx＋yδｙ=0 (3)
となります。拘束条件が(3)式のようになるとき、ラグランジュの方程式は、未定定数をλとしますと
d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x＝λx
d/dt(∂L/∂y')-∂L/∂x＝λy (4)
と書かれます。このλx、λyという項は一般化拘束力などとと呼ばれたりしています。
さて、(4)を具体的に計算しますと
mx"＝λx
my"＋mg＝λy (5)
が得られます。これから質点に対する円の反作用のｘ成分をNx、ｙ成分をNyとしますと
Nx＝λx、Ny＝λy
であることが分かります。
後やることは(5)を解いて行くことですが、結構煩雑になりますのでこの辺でやめておきます。しかし、それでは余りにも余りなので、もし突っ込んで勉強されるならGOLDSTEINの古典力学を推奨しておきます。第(2)章の演習問題にこれと同じ問題が載っています。解答集（古典力学演習）も出ていますので、本屋で立ち読みなどをされては如何でしょうか。

お礼

ていねいな返答ありがとうございます。
参考にしてみます。今から本も探してみます。

回答No.2

KENZOU

エ～っと、追記になりますが、下記のURLを見てください。直交座標て解いた場合と極座標を使って解いた場合の２つのケースが載っています。非常にスマートに解かれていますのでご参考になると思います。

参考URL：

http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~j_inoue

お礼

ありがとうございました。参考にしてみます。